全国初中数学竞赛培训题(二).doc

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1、全国初中数学竞赛培训题(二)一、选择题（本题满分42分，每小题7分）本题共有6小题，每题均给出了代号为的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.1.已知满足，则的值为（）（A）1.（B）.（C）.（D）.2．当分别取值，，，…，，，，…，，，时，计算代数式的值，将所得的结果相加，其和等于（）（A）－1.（B）1.（C）0.（D）2007.3.设是△的三边长，二次函数在时取最小值，则△是（）（A）等腰三角形.（B）锐角三角形.（C）

2、钝角三角形.（D）直角三角形.4.已知锐角△的顶点到垂心的距离等于它的外接圆的半径，则∠的度数是（）AECBDOH（A）30°.（B）45°.（C）60°.（D）75°.5．设是△内任意一点，△、△、△的重心分别为、、，则的值为（）（A）.（B）.（C）.（D）.6．袋中装有5个红球、6个黑球、7个白球，从袋中摸出15个球，摸出的球中恰好有3个红球的概率是（）（A）.（B）.（C）.（D）.二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1.设，是的小数部分，是的小数部分，则_______.2.对于一切不小于2的自然数，关于的一元二次方程的两个根记作（），则=

3、_______.3.已知直角梯形的四条边长分别为，过、两点作圆,与的延长线交于点，与的延长线交于点，则的值为_________.ABCDEFGMN4．若和均为四位数，且均为完全平方数，则整数的值是_______.三、解答题1、（本题满分20分）设为正整数，且，如果对一切实数，二次函数的图象与轴的两个交点间的距离不小于，求的值.ABCDEFMNP2、（本题满分25分）如图，四边形是梯形，点是上底边上一点，的延长线与的延长线交于点，过点作的平行线交的延长线于点，与交于点.证明：∠=∠.3、（本题满分25分）已知是正整数，如果关于的方程的根都是整数，求的值及

4、方程的整数根.答案一、选择题（本题满分42分，每小题7分）本题共有6小题，每题均给出了代号为的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.1.已知满足，则的值为（）（A）1.（B）.（C）.（D）.【答】B.解由得，所以，故选（B）.注：本题也可用特殊值法来判断.2．当分别取值，，，…，，，，…，，，时，计算代数式的值，将所得的结果相加，其和等于（）（A）－1.（B）1.（C）0.（D）2007.【答】C.解因为，即当分别取值，为正整

5、数）时，计算所得的代数式的值之和为0；而当时，.因此，当分别取值，，，…，，，，…，，，时，计算所得各代数式的值之和为0.故选（C）.3.设是△的三边长，二次函数在时取最小值，则△是（）（A）等腰三角形.（B）锐角三角形.（C）钝角三角形.（D）直角三角形.【答】D.解由题意可得即所以，，因此，所以△是直角三角形.故选（D）.4.已知锐角△的顶点到垂心的距离等于它的外接圆的半径，则∠的度数是（）AECBDOH（A）30°.（B）45°.（C）60°.（D）75°.【答】C.解锐角△的垂心在三角形内部，如图，设△的外心为，为的中点，的延长线交⊙于点，连、

6、，则//，//，则，所以∠＝30°，∠＝60°，所以∠＝∠＝60°.故选（C）.5．设是△内任意一点，△、△、△的重心分别为、、，则的值为（）（A）.（B）.（C）.（D）.【答】A.解分别延长、、，与△的三边、、交于点、、，由于、、分别为△、△、△的重心，易知、、分别为、、的中点，所以.易证△∽△，且相似比为，所以.所以.故选（A）.6．袋中装有5个红球、6个黑球、7个白球，从袋中摸出15个球，摸出的球中恰好有3个红球的概率是（）（A）.（B）.（C）.（D）.【答】B.解设摸出的15个球中有个红球、个黑球、个白球，则都是正整数，且，.因为，所以可取

7、值2，3，4，5.当时，只有一种可能，即；当时，，有2种可能，或；当时，，有3种可能，或或；当时，，有4种可能，或或或.因此，共有1＋2＋3＋4＝10种可能的摸球结果，其中摸出的球中恰好有3个红球的结果有2种，所以所求的概率为.故选（B）.二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1.设，是的小数部分，是的小数部分，则____1___.解∵，而，∴.又∵，而，∴.∴，∴.2.对于一切不小于2的自然数，关于的一元二次方程的两个根记作（），则=解由根与系数的关系得，，所以，则，＝.3.已知直角梯形的四条边长分别为，过、两点作圆,与的延长线交于点，与的延长线交

8、于点，则的值为____4_____.ABCDEFGMN解延长交⊙于点，设的中点分别为点，则易知