全国初中数学竞赛辅导(初)作业题

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1、复习题　　1．分解因式：3x2+5xy-2y2+x＋9y-4．　　2．分解因式：(x2＋xy＋y2)(x2+xy+2y2)-12y4．　　5．已知求ab＋cd的值．为任意正数，证明1＜s＜2.　　7．设a，b是互不相等的正数，比较M，N的大小．　　8．求分式　　的值．　　9．已知：8/8求证：px＋qy+rz=(p+q+r)(x+y+z)．　　11．已知实数x，y满足等式求x，y的值．　　12．若14(a2+b2+c2)=(a＋2b＋3c)2，求a∶b∶c．　　13．解方程：x2＋2x-3丨x+1丨+3=0．　　14．已知三个二次方程x2-3x＋a=0，2x2

2、＋ax-4=0，ax2＋bx-3=0有公共解，试求整数a和整数b的值．矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。　　15．如图2-178所示．在△ABC中，过点B作∠A的平分线的垂线，足为D．DE∥AC交AB于E点．求证：E是AB的中点．聞創沟燴鐺險爱氇谴净。　　16．求证：直角三角形勾股平方的倒数和等于弦上的高的平方的倒数．　　17．如图2-179所示．在△ABC中，延长BC至D，使CD=BC．若BC中点为E，AD=2AE，求证：AB=BC．残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。　　18．如图2-180所示．ABCD是平行四边形，BCGH及CDFE都是正方形．求证：AC⊥EG．8/8　　19．

3、证明：梯形对角线中点的连线平行于底，并且等于两底差的一半．　　20．如图2-181所示．梯形ABCD中，∠ADC=90°，∠AEC=3∠BAE，AB∥CD，E是BC的中点．求证：酽锕极額閉镇桧猪訣锥。CD=CE．　　21．如图2-182所示．梯形ABCD中，AD∥BC(AD＜BC)，AC和BD交于M，EF过M且平行于AD，EC和FB交于N，GH过N且平行于AD．求证：彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。　　22．如图2-183所示．在矩形ABCD中，M是AD的中点，N是BC的中点，P是CD延长线上的一点，PM交AC于Q．求证：∠QNM=∠MNP．謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。8/8

4、　　23．在(凸)四边形ABCD中，求证：AC·BD≤AB·CD＋AD·BC．　　24．如图2-184所示．AD是等腰△ABC底边BC上的高，BM与BN是∠B的三等分角线，分别交AD于M，N点，连CN并延长交AB于E．求证：厦礴恳蹒骈時盡继價骚。　　25．已知n是正整数，且n2-71能被7n＋55整除，求n的值．　　26．求具有下列性质的最小正整数n：　　(1)它以数字6结尾；　　(2)如果把数字6移到第一位之前，所得的数是原数的4倍．　　27．求出整数n，它的2倍被3除余1，3倍被5除余2，5倍被7除余3．　　28．把1，2，3，…，81这81个数任意排列为

5、：a1，a2，a3，…，a81．计算丨a1-a2＋a3丨，丨a4-a5＋a6丨，…，丨a79-a80＋a81丨；再将这27个数任意排列为b1，b2，…，b27，计算丨b1-b2+b3丨，丨b4-b5+b6丨，…，丨b25-b26＋b27丨．如此继续下去，最后得到一个数x，问x是奇数还是偶数？8/8　　29．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，　　30．设凸四边形ABCD的对角线AC，BD相交于O，且AC⊥BD，已知OA＞OC，OB＞OD，求证：BC＋AD＞AB+CD．　　31．如图2-185．在梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别在AB和

6、DC上，EF∥BC，EF平分梯形ABCD的面积，若AD=a，BC=b，求EF的长．茕桢广鳓鯡选块网羈泪。　　32．四边形ABCD的面积为1，M为AD的中点，N为BC的中点，的面积．　　33．已知一元二次方程x2-x+1-m=0的两实根x1，x2满足丨x1丨+丨x2丨≤5，求实数m的取值范围．　　34．求所有的正实数a，使得方程x2-ax＋4a=0仅有整数根．　　35．求证：当p，q为奇数时，方程x2＋px＋q=0　　无整数根．　　36．如图2-186．已知圆中四弦AB，BD，DC，CA分别等于a，b，c，d(且cd＞ab)．过C引直线CE∥AD交AB的延长线于

7、E，求BE之长．鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。8/8　　37．设A={2，x，y}，B={2，x，y2}，其中x，y是整数，并且A∩B={2，4}，A∪B={2，x，2x，16x}，求x，y的值．籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。　　38．在梯形ABCD中，与两条平行底边平行的直线和两腰AB，CD交于P，Q(图2-187)．如果AP∶PB=m∶n，那么PQ的值如何用m，n，AD，BC表示？預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。　　39．在平行四边形ABCD中，设∠A，∠B，∠C，∠D的平分线两两相交的交点分别为P，Q，R，S，那么四边形PQRS是什么图形？如果原来的四边形ABCD是矩形，那么四边

8、形PQRS又是什么图形？渗釤呛俨匀谔鱉