全国初中数学竞赛真题.docx

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1、全国初中数学竞赛真题汇编——祝斌斌2004年全国初中数学竞赛试题参考答案和评分标准一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分.以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里.不填、多填或错填得零分）1.已知实数a¹b，且满足(a+1)2=3-3(a+1)，3(b+1)=3-(b+1)2.则bb+aa的值为（）.ba（A）23（B）-23（C）-2（D）-13解：选（B）∵a、b是关于x的方程(x+1)2+3(x+1)-3=0的两个根，整理此方程，得x2+5x+1=0，∵D=25-4>0，∴a+b=-5，ab

2、=1.故a、b均为负数.因此b+aa=-b-ababababab=-a2+b2=-(a+b)2-2ab=-23.ababab2.若直角三角形的两条直角边长为a、b，斜边长为c，斜边上的高为h，则有（）.（A）ab=h2（B）1+1=1（C）1+1=1（D）a2+b2=2h2abhb2h2a2答：选（C）∵a>h>0，b>h>0，∴ab>h2，a2+b2>h2+h2=2h2；因此，结论（A）、（D）显然不正确.设斜边为c，则有a+b>c，12(a+b)h>12ch=12ab，1111即有+>，abh因此，结论（B）也不正确.由12a2+b2h=12ab化简整理后，得a12+b1

3、2=h12，因此结论（C）是正确的.3．一条抛物线y=ax2+bx+c的顶点为（4，-11），且与x轴的两个交点的横坐标为一正一负，则a、b、c中为正数的（）.（A）只有a（B）只有b（C）只有c（D）只有a和b答：选（A）由顶点为（4，-11），抛物线交x轴于两点，知a>0.设抛物线与x轴的两个交点的横坐标为x1，x2，即为方程ax2+bx+c=0的两个根.由题设xx<0，知c<0，所以c<0.12a根据对称轴x=4，即有-b>0，知b<0.2a故知结论（A）是正确的.4．如图所示，在△ABC中，DE∥AB∥FG，且FG到DE、AB的距离之比为1:2.若△ABC的面积为32，

4、△CDE的面积为2，则△CFG的面积S等于（）.（A）6（B）8（C）10（D）12答：选（B）由DE∥AB∥FG知，△CDE∽△CAB，△CDE∽△CFG，（第4题图）所以CD=SDCDE=2=1，SDCABCA324又由题设知FDFA=12，所以FDAD=13，FD=13AD=13´34AC=14AC，故FD=DC，于是2知A、B两个城市间每天的电话通话次数为t，那么B、C两个城市间每天的电话通话次数为次（用t表示）.3现测得A、B、C三个城市的人口及它们之间的距离如图所示，且已(k为常数).数m、n（单位：万人）以及两城市间的距离d（单位：km）有TSDCDEæ1ö21=

5、ç÷=，SDCFG=8.SDCFG4è2ø因此，结论（B）是正确的.5．如果x和y是非零实数，使得x+y=3和xy+x3=0，那么x+y等于（）.（C）1-13（A）3（B）132答：选（D）将y=3-x代入xy+x3=0，得x3-x2+3x=0.（1）当x>0时，x3-x2+3x=0，方程x2-x+3=0无实根；（2）当x<0时，x3-x2-3x=0，得方程x2-x-3=0解得x=1±13，正根舍去，从而x=1-13.221-7-.于是y=3-x=3+13=1322故x+y=4-13.因此，结论（D）是在正确的.二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．如图所示，在△

6、ABC中，AB=AC，AD=AE，ÐBAD=60°，则ÐEDC=（度）.答：30°解：设ÐCAD=2a，由AB=AC知ÐB=12(180°-60°-2a)=60°-a，ÐADB=180°-ÐB-60°=60°+a，由AD=AE知，ÐADE=90°-a，所以ÐEDC=180°-ÐADE-ÐADB=30°.（D）4-13（第6题图）7．据有关资料统计，两个城市之间每天的电话通话次数T与这两个城市的人口=kmnd2的关系答：2t解：据题意，有t=50´80k，1602∴k=32t.（第7题图）5因此，B、C两个城市间每天的电话通话次数为T=k´80´100=32t´5=t.BC32

7、0256428．已知实数a、b、x、y满足a+b=x+y=2，ax+by=5，则(a2+b2)xy+ab(x2+y2)=.答：-5解：由a+b=x+y=2，得(a+b)(x+y)=ax+by+ay+bx=4，∵ax+by=5，∴ay+bx=-1.因而，(a2+b2)xy+ab(x2+y2)=(ay+bx)(ax+by)=-5.9．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC(BC>AD)，ÐD=90°，BC=CD=12,ÐABE=45°，若AE=10，则CE的长为.答：4或6解：延长DA至M，使B