资源描述：
《对多值解析函数的研究》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、对多值解析函数的研究摘要：本文主要分析了复变函数多值性的问题，先从实变函数的反函数对应关系类比推理到复变函数的单值性，研究了一些关键名词的定义，再对几种常见的多值复变函数进行了分析，探讨了多值函数单值化的一般方法，最后讨论了函数多值性的一些具体应用。关键词:复变函数;多值性;幅角;单值解解析0引言在学习复变函数的过程中，函数的多值性是复变函数中非常重要的一部分。为了深入研究复数域中解析函数及其应用，在多值函数的研究中，就必须在复数域中透过初等函数多值性的本质，分解出其单值分支，这样才能达到想要的结果。幅角函数的多值性是引起初
2、等复变函数多值性的根本原因。因此，要弄清楚复变函数的多值性问题，就必须以幅角函数为切入点。本文的讨论都是基于一个复数的幅角的不唯一性，这种不确定性，使复变函数除了具有多对一的情形，还有一对多的复杂情况。不论是多对一还是一对多的映射，当然都不如一一映射讨论起来方便、清晰。所以，对于多对一的映射(函数)，类似实变函数中为了求得反函数而划分出单值区间，我们总是要将其定义域分成一些区域的和,使得在分出的每个区域上，原来的多对一映射简单地成为一一映射。单值函数：在实变函数中，我们所定义的单值函数是：一个x∈A，有唯一的一个y∈R与之对
3、应。按此定义，表达式：y2=x,x≥0并不给出函数，于是我们可以将其看做两个函数y1=x和y2=x，x≥0的合写，总之，在实分析中，函数f(x)总是单值的。但是，实分析中定义的函数允许多对一，如y=sinx，x∈R就是无穷多个x与一个y对应。在复变函数中,函数的定义允许一对多，即一个z∈E可以有多个w与之对应，这种情况我们称w是z的多值函数，w=z就是双值的，比如对于z=i，w的值可以是w1=eπ4i以及w2=e5π4i，形成上述原因的根本问题在于复数自身固有的特性，就是模长相等，幅角相差2kπ的两个复数是相等的。或者说，复
4、数的表示不是唯一的。1几种常见的复变函数的多值性探讨1.1复数的幅角函数幅角的定义:把复平面上的原点作为起点，向量z作为终点,那么该向量与实轴正向之间的夹角就称为复数z的幅角，记为Argz，然而在此基础上±2kπ（K为任意整数）得到的角也称为复数的幅角，换言之，幅角有无数多个，其中的－π＜argz≤π称为幅角主值，即Argz=argz±2kπ。幅角主值函数argz的求法：argz的值完全取决于复数z及z的位置。由于yx>0时，arctanyx表示第一象限角，yx<0时，arctanyx表示第四象限角，因此argz=而再考虑a
5、rgz的解析性，由于：可以看出这个函数在原点和负实轴是不连续（解析）的，故可沿负实轴作割线割破z平面，即可得到arg的一个单值解析分支（割破平面法）。1.2复数的幂函数函数w=zn显然是一个多对一的函数，因为幅角彼此相差2kπn的n个复数z都对应同一个w，这n个复数的模长相等，所以它们位于一个正n边形的顶点上。映射w=zn能把z平面上的张度为2πn角形区域：T:θ-πn<∅<θ+πn变为W平面上除去原点及射线nθ的区域。所以Z平面上的每个张度为2πn的角形区域都是函数w=zn的一个单叶区域，这样,我们可以给出单叶区域的一个分
6、法（限制幅角法）:Tk:2kπ-πn<∅<(2kπ+πn),k=0,1…n-1;每一个角形Tk加上同一端的边界就是函数w=zn的单叶区域（单值分支）。值得一提的是在每一个这样的区域上都可以得到函数w=zn的一支反函数：z=nw,w∈Tkk=0,1,2,…,n-1;1.3方根函数由上文讨论又易知，由于幅角的不确定性，函数w=nz为一对多的多值函数。若设z=reiθ，则有w=nr∙ein(θ+2kπ),k=0,1,…,n-1，可见一个z会有n个函数值,它们位于半径为nr的圆周上，彼此张角为2πn。而我们已知z所对应的n个w值分别
7、分布在复平面的n个角形区域Tk内，每个角形区域的函数值都称为函数的一个分支。如同对幅角函数的处理方法，我们把z平面沿负实轴割开那么，在此割破的平面上，当动点z从某一点z0沿任意的闭曲线（此闭曲线不会跨过负实轴，也不会包含原点）运动一周，回到点z0时，幅角不会改变，在运动过程中所对应的函数值将都位于同一角形区域Tk中，比如取-π<θ<π，对应的函数单值区域就是-πn<∅<πn，此时k取0，w=nr∙eiθn称为多值函数的主支。1.4对数函数定义:w=Lnz=ln
8、z
9、+iArgz=ln
10、z
11、+iargz+2kπi，k为任意整数
12、。从这个定义不难看出，对数函数的多值性与解析性完全由iargz决定，故与幅角函数完全一致。2多值函数单值化的一般方法2.1关于多值函数的支点(一)支点的定义:1.具有这样性质的点：当z绕这点一圈时，多值函数从一个分支变为另一分支，我们把它称为这个多值函数的支点。2.具有下述性质的点：在其任
