§2.3-初等解析函数和多值函数.ppt

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1、§2.3初等解析函数和多值函数1、初等单值函数(1)幂函数幂函数在复平面上处处解析,同时可以证明多项式函数:也处处解析。而有理函数:除了点外解析。(2)指数函数指数函数的性质:(i)(ii)对于实数z=x来说,复数域中的指数定义与实数域中的定义一致。(iii)(iv)指数函数处处解析,且:(v)(vi)不存在。证明:(iv)(3)三角函数性质:(i)正弦函数和余弦函数处处解析,且:(ii)正弦函数为奇函数和余弦函数为偶函数,并遵循三角公式:(iii)正弦函数和余弦函数以2为周期;(iv)sinz=0,则cosz=0,则(v)在复数域中,不能判定证明:(ii)2、初等多值函数(I

2、)根式函数:根式函数的多值性例如:很显然,w与z的模一一对应,但幅角却不然,w的幅角有三个不同的值与z的幅角对应:显然,对于同一个z值,有三个w与之对应,且三个值的幅角相差2/3。若规定,w只在I区域取值,则z的值域与w的I区域就建立起了一一对应的关系。而对于其反函数z=w3来说,在区域I,不同的w值对应于z平面上不同的z值,这样的区域I(0

3、,)按逆时针方向沿一闭合曲线连续变化,若曲线不包括原点,则连续改变的幅角回到原来的值,而w的值也回到w1。但如果曲线包含原点,则旋转一周后,w的值不再回到w1,而是回到w2:我们称z=0为的支点。定义(支点):若z绕某点旋转一周回到初始点,多值函数w=f(z)由一个分支变到另外一个分支,我们称这样的点为多值函数的支点。对于根式函数来说,原点和无穷远点是其两个支点。(III)支割线连接支点z=0和z=的任意一条射线,称为支割线。支割线将z平面割开,并规定z连续变化时不得跨越支割线,这就使得割开的z平面上任意闭合曲线都不包括原点,由此根式函数只在一个单值分支上取值。注:把一个多值

4、函数划分为单值分支与支割线的选取密切相关,不同的支割线选取方式使得单值分支的区域定义也不相同。(IV)对数函数:显然:很明显,对数函数是多值函数,一个z对应有无数个w,彼此的虚部差2的整数倍。若限定-

5、这无穷多个单值函数皆是解析函数。证明:考虑极限:所以:对数运算法则:证明:例1:若a>0,计算Ln(-a).解:而:所以:例2:计算Ln(i).解:因为:所以:例3:计算ii。解:所以:因为:(III)反三角函数:由于:则:则:所以:同理,由反余弦函数得:由于对数函数的多值性,显然反三角函数也是多值函数。

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