第3节 初等多值函数.ppt

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1、复变函数论多媒体教学课件DepartmentofMathematics第三节初等多值函数因为初等复变多值函数的多值性是由于辐角的多值性引起的，所以我们先研究辐角函数：w=Argz函数有无穷个不同的值：其中argz表示Argz的主值：(我们也把Argz的任意一个确定的值记为argz)考虑复平面除去负实轴（包括0）而得的区域D。显然，在D内，Argz的主值argz是一个单值连续函数。对一个固定的整数k，也是一个单值连续函数。因此，w=Argz在区域D内可以分解成无穷多个单值连续函数，它们都是w=Argz在D内的单值连续分支。沿负实轴的割线：上沿下沿

2、一单叶区域1.定义2.8注1单值不一定单叶注2区域D到区域E的单叶满变换就是D到E的1-1变换.或或二根式函数1.定义2.8注Z平面除去原点及负实轴的区域.结论例1解定义定义注1多值函数的每一单值分支,在支割线两沿取不同值,且在支割线不连续.取负实轴为支割线,在正实轴上取正实数值的那一支为主值支.注2注3.例2解三对数函数1.复对数的定义定义2.10我们规定对数函数是指数函数的反函数，即若注、由于对数函数是指数函数的反函数，而指数函数是周期为的周期函数，所以对数函数必然是多值函数.Z平面除去原点及负实轴的区域.结论:2.对数函数的主值相应与辐角

3、函数的主值，我们定义对数函数Lnz的主值lnz为：则这时，有例3解3.对数函数的运算性质4.对数函数的支点及支割线uvw-平面xZ-平面y沿负实轴的割线的取值情况：上沿下沿例4解故所取分支为从而例5解作业P93习题(一)20(1)(3)，22，23，例6解由从而有故所给分支为解（法2）而故五一般幂函数与一般指数函数1.一般幂函数定义定义2.11由于定义2.122.一般指数函数的概念注1:有无穷多个单值解析分支.注2:注3:以上定义两种函数都可看作复合函数.例7解六、反三角函数和反双曲函数1.反三角函数的定义两端取对数得由得方程的根为同样可以定义

4、反正弦函数和反正切函数,重复以上步骤,可以得到它们的表达式:2.反双曲函数的定义由得故反双曲余弦函数为故反双曲正弦函数为故反双曲正切函数为例8解解例9作业P93习题(一)24作业P93习题(一)20(1)(3)，22，23，24本节结束谢谢！