第三节 初等多值函数

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1、§3初等多值函数一、教学目标或要求：掌握基本的初等多值函数的定义、性质；二、教学内容（包括基本内容、重点、难点）：基本内容：基本的初等多值函数的定义、性质；重点：基本的初等多值函数的定义、性质；难点：支点的概念三、教学手段与方法：讲授、练习四、思考题、讨论题、作业与练习：21-26（习题课检查）§3初等多值函数1.根式函数定义2.9设，规定根式函数为幂函数的反函数。(1)根式函数为多值函数，它不是解析函数．对于每一个确定的，都有个不同的与之对应，即有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　因为根式函数是多值函数，所以，它不是解析函数．(2)根

2、式函数在从原点起沿正实轴剪开的复平面上可分出个单值函数．设函数为多值函数，若当变点从起始点出发绕一条包围点的简单闭曲线连续变动一周再回到起始点时，函数从一个支变到另一个支，则称点为函数的支点．(3)根式函数的每个单值支在从原点起始沿正实轴剪开的复平面上为解析函数．根式函数　　　　　　　　　　　它是一个多值函数，出现多值性的原因是由于确定后，其幅角并不唯一确定（可以相差的整数倍）。为分出单值解析分支，在平面上从原点到引一条射线，将平面割破，割破了的平面构成一个以此割线为边界的区域。在内随意指定一点，并指定的一个幅角值，则在内任意的点，皆可根据的幅角依连续变

3、化而唯一确定的幅角。　　假定从原点其割破负实轴，是内过的一条简单闭曲线，即不穿过负实轴，它的内部不包含原点，则当变点从其绕一周时，的象点各画出一条闭曲线而各回到它原来的位置。　　因此，在区域内可得到的个不同的单值连续分支函数　　　　　　　　　，，利用极坐标形式的柯西－黎曼条件，可以证明，这个分支函数在区域内是解析的，且有　　　　　　　　　，，　　在上面分出的单值解析分支过程中，有一个重要的基本概念：支点。比如原点。在此点的充分小邻域内，作一个包围此点的圆周，当变点从上一点出发，绕连续变动一周而回到其出发点时，从其一支变到另一支。具有这样性质点称它为的支点

4、，同理也是的一个支点。　　用来割破平面，借以分出的单值解析分支的割线，称之为支割线。取负实轴为支割线而得出的个不同的分支，其中有一支在正实轴上取正实值的，称为的主值支。即　　　　　　　　　　　　　下面以为例，来阐明有关多值函数的基本概念.　　(i).是多值函数由得，令，则有　　　　　　　　　　由此可得w的模与z的模一一对应，而对应着每个；有三个不同的值(主值幅角)　　　　　　　　　　　故　　　　　　　　　　所以：是多值函数　　(ii).单值分支　　对于同一z值的三个w值的模相同，而幅角成公差为的一个等差级数.如果在w平面上作一个以原点为顶点，张角为的角形

5、区域，而规定w在区域I上取值，那么函数就建立了z平面上区域的点与w平面上区域I的点之间的一一对应关系.　　　　　　　　　　　　　例如在z平面上区域上任取一点，函数在区域I上有唯一的点与之对应.对来说，在w平面上区域I，能使不同的w值对应于z平面不同的z值，这样的区域称为的单叶性区域.　　同理，对于z平面上区域上任取一点，在区域和区域上，函数分别确定了唯一的点和与之对应，区域II,III都是的单叶性区域.若区域I,II,III分别加上相邻的端边，构成,,，当用三个角形把w平面布满后，一个多值函数划分成了三个单值分支:　　　　　　　　　　　分别为一个单值分支

6、的值域，而此时有：.　　(iii).支点　在z平面上选定一点，相应(取第一支)，再让点在z平面上沿一闭合曲线，按逆时针方向连续变化，如果这条曲线不包含原点(如图曲线)，则当动点回到原来位置时，连续变化的幅角也回到原来的值，相应的w也回到原来的，但如果这条闭曲线内部包含原点,(如图曲线c)，那么当动点沿逆时针方向绕一整圈回到原来位置时，z的幅角就要增加，成为，与此相应的w值就从变到.从以上分析可得，对于函数来说，z=0点具有这样的性质，当z绕它转一整圈回到原处时，多值函数由一个分支变到另一个分支，这个点就称为多值函数的支点.一般来说，对于一个多值函数，存在

7、这样的点，当自变量z绕它运动一周而回到原处，多值函数并不回到原值，而由一个分支变到另一个分支，这样的点，叫支点.　　再看无穷远点，对于，令z绕无穷远点运行一周，绕无穷远点运行是指：由于复平面上的无穷远点对应着复数球的北极，如果在复数球面上作一个小圆环绕北极，这个圆就对应着复数平面上一个很大的圆，因此，绕无穷远点支行一周是指在复数平面上沿很大的圆运行一周.显然z沿很大的圆绕一周，由一个分支变成另一个分支，所以无穷远点也是函数的支点.这个函数再没有其它支点了.　　从以上分析可得，当z沿支点转一周时，由变成，即由前一个分支变成后一个分支，再转一周，变成，所以，

8、复变多值函数不能分解成三个独立的单值函数，不像多值的实变函数，如可分解为独立的和