多值函数研究的几何方法

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1、多值函数研究的几何方法点滴1•引言多值函数单值分支问题，丿力來是复变函数论小的i个难点.现有的一些文献以及教材虽然都有谈及这一问题，但谈及的多半是利用单个例子的方式进行说明，并没有将多值函数单值化的方法系统化.本文正是基于这一考虑，通过对典型例子的分析与总结，归纳出多值函数单值化的一般方法.2.几类典型函数单值化方法的回顾2.1幕函数z=的单值化函数Z=,这里规定〃为整数.设z=rel°,co=pe,

2、+—伙=0,1,2…，7?-1）nnnn所有的7；加上同一端的边界就是完整的复平面C,而每一个角形7；加上同一端的边界就是函数z=刃的单叶区域，这样我们就得到了幕函数的一一对应的单值分支.2.2根式函数0）=嘔的单值化.0+2R/T设z=re'°,co-V7=e"，伙=0,1,2…，n~l）我们将复平而C沿着从原点出发的任一条射线割破，当复平而C被割破后，这个割破的复平而C上的复数的辐角变化范围也就可以相应的被限定（一般地取-71<0<71）.那么，在这个被割破的复平面上，一个复数的辐也就会被唯一确定而不能再任意变化了，于是我们就得到根

3、式函数的一个对应的单值分支•2.3辐角函数argz的单值化我们知道argz=argZo+[Mgzh，这里厶为C-{0}内一条简单曲线,z°是厶的起点,[Argz]L称为辐介改变量.如果我们沿正实轴把复平面割开，所得到的割破平面记为D,它是一个单连通区域。可以看到[Argz]L将只与厶的起点和终点有关，而与曲线的形状无关，在D内固定起点5，取定初值argz0,则argz=argzG+[Argz]L就是终点z的单值连续函数.如果取定初值arg+2兀，则得另一个单值连续函数argz+Itt=arg%+2龙+[4%z]L.一般來说,如果取初值a

4、rgz0+IkTi（k为整数），则得到一个单值连续函数arg.这样，我们就可以在D内把辐角函数"gz分成无穷多个单值分支argz+2^,“D,kwJ（J为整数集）.2.4对数函数co=Logz的单值化设®=Logz,因此z=当然要设zhO,因为这时严=0无解。将z以指数的形式写出："pe'°（Q=忖，&=argz任意取一定值），并记e=u+iv.于是pei0=eM+/v=/•R'.此式左、右两端是同一复数，它们的模应相等：p=『或即“二In°；它们的辐角可相差2兀的整数倍：v=&+2£龙（k=0,±1,±2,）勿卜即v=Arg乙.这样，

5、我们令.厶ogz=ln

6、z

7、+7A々z这很清楚地表明Logz的多值性是由Argz的多值性而來，所以和Argz一样，Logz在定义域C-{0}内是不能分解成单值连续函数的.因此我们同样可以将复平而C沿正实轴（包括原点）割开而成一单连通区域D,由于在D内Argz可以分为无穷多个单值连续分支，Argz=arg^+2/:^-（Z:gJ,0内Logz也可分为无穷多个单值连续分支：log&z=log乙+2£加（keJ,log（-l）=7ii.z€D）3.限制辐角法和割破平面法通过上血几个典型例子，我们可以发现多值函数单

8、值化的方法应该有两种：限制辐如法和割破平面法.事实上，通过上面的分析可以看到，割破平面以后辐介范围其实也相应的被限定了，而限制辐角我们通常也是通过割破平而来实现的，这两种方法在很多的悄况下是相通的。3.1限制辐角法原理：从幕函数和根式函数单值化的过程來看，由于任意一个复数刁都冇无穷多个幅角，因此当变量的辐角在除去原点之外的整个复平血上变化时，函数值可能会出现多值的情况，或者也可能是不同辐角的同一个变量而对应着同一个函数值，我们为了得到一一对应的单值分支，这时我们可以通过限制辐角的变化范围，让每一个变量与其所对应的函数值形成一一对应的关系

9、，这就是限制辐角法对函数进行单值分支的方法.3.2割破平面法原理：从辐角函数单值化和对数函数单值化的过程来看，它们的多值性也是源于辐角的多值性，通过上面的例子可以看到我们是通过割破平而使得辐角的改变量［Argz=0.事实上，当我们连接0和oo把复平而沿着正实轴割破后，就相当于缩小了区域，对于所得区域内的任一闭曲线，显然己经不能把0或者oo包含在内，辐角改变量只与起点、终点位置有关，而与曲线的形状无关，这时当口变量z再沿任一闭曲线运动一周后，其辐角改变量［Argz］L=0.这样，如果取定初值，就可得到我们想要的单值连续函数了.2.多值函

10、数单值化的一般方法4.1一般方法定义4.1⑵设初等多值函数F(z)定义于区域D内，取定zoe£＞和D内的单值连续函数于⑵，使得F(z)在％的初值为/(5).记厶是Q内以为起点任意一点z为终点的简单曲线,［F