2005年湖南省数学竞赛试卷

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1、我爱奥赛网www.52aosai.com:免费竞赛试题交流2005年湖南省数学竞赛试卷考生注意：1.本试卷共三大题（19个小题），全卷满分150分。2.用钢笔、签字笔或圆珠笔作答。3.解题书写不要超出装订线。4.不能使用计算器。一、选择题（本大题共10小题，每小题6分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．命题甲：；命题乙：，则命题甲是命题乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件2，如果圆至少覆盖函数的一个最大点和一个最小点，则正整数的最小值为（）A．B．C．D．3．如果椭圆

2、的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则其离心率为（）A．B．C．D．4．对于函数，则它是周期函数，这类函数的最小正周期是（）A．B．C．D．5．函数的图象为，而关于直线对称的图象为，将向左平移1个单后得到的图象为，则所对应的函数为（）A．B．C．D．6．当是两个不相等的正数时，下列不等式中不成立的是（）A．B．C．D．7．记，若，则的值为（）A．B．C．D．8．某个货场有2005辆车排队等待装货，要求第一辆车必须装9箱货物，每相邻的4辆车装的货物总数为34箱，为满足上述要求，至少应该有货物的箱数是（）A．B．C．D．我爱奥赛网www.52aos

3、ai.com:免费竞赛试题交流9．若干个棱长为2、3、5的长方体，依相同方向拼成棱长为90的正方体，则正方体的一条对角线贯穿的小长方体的个数是（）A．B．C．D．10．一套重要资料锁在一个保险柜中，现有把钥匙依次分给名学生依次开柜，但其中只有一把真的可以打开柜门，平均来说打开柜门需要试开的次数为（）A．B．C．D．二、填空题：(本小题共4小题，每小题6分，共24分，把答案填在题中横线上)11．设，对于函数满足条件，那么对所有的，_______________;12．一张坐标纸对折一次后，点与点重叠，若点与点重叠，则______________

4、_;13．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为，则这个球的体积为______;14．集合中的元素是正整数，且有性质：若，这样的集合共有_____________个。三、解答题：（本大题5小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）15．（本小题满分12分）数列满足，，试求的值。16．（本小题满分12分）已知是面积为1的三角形的边上的任意一点，是边上任意一点，连结，是线段上的任意一点，设且，试求三角形的面积的最大值。17．（本小题满分12分）过点作一条直线和分别相交于我爱奥赛网www.52aosai.com:免费竞赛

5、试题交流两点，试求的最大值。（其中为坐标原点）18．（本小题满分16分）若正数满足求证19．（本小题满分14分）从岳阳到郴州的快速列车包括起始和终点共有六站，将这六站分别记为A,B,C,D,E,F,有一天张兵和其他18位旅客乘同一车厢离开岳阳，这些人中有些是湖北人，其他的是湖南人，认识所有同车厢旅客的张兵观测到：除了终点站，在每一站，当火车到达时这节车厢上的湖南人的数目与下车旅客的数目相同，且这次行程中没有新的旅客进入这节车厢。张兵又进一步观测到，当火车离开车站时，车厢内有12名旅客；当火车离开车站时，还有7名旅客在这一车厢内；当他准备在站下

6、车时，还有5名旅客在这一车厢内。试问开始时火车的这一节车厢有多少湖北人，有多少湖南人？且在旅途中这些数目如何变化？2005年湖南省数学竞赛试卷（参考答案）我爱奥赛网www.52aosai.com:免费竞赛试题交流一：选择题1．B提示：从原命题的等价命题逆否命题来考虑2．B提示：因为为奇函数，图象关于原点对称，所以圆只要覆盖的一个最值点即可，令，解得距原点最近的一个最大点，由题意得正整数的最小值为23．C提示：由，消去得，所以4.D提示：将代替式中的，则有于是，可得，所以5．B提示：,6.B提示：当时，，而7．C提示：令，则答案为48．A提示：

7、设第辆车装货物箱，由题意得：，…实际象以4为周期的数列，答案为9．B提示：由2，3，5的最小公倍数为30，由2，3，5组成的棱长为30的正方体的一条对角线穿过的长方体为整数个，所以由2。3。5组成棱长为90的正方体的一条对角线穿国的小长方体的个数应为3的倍数，故答案为B10．C提示：当=2时，打开柜门需要的次数为，故答案为C或已知每一位学生打开柜门的概率为，所以打开柜门次数的平均数（即数学期望）为，故答案为C一、填空题：11．用换元法可得12．可解得对称轴方程为，由得，所以13．，提示：可把正四面体变为正方体的内接正四面体，此时正方体的棱长为

8、我爱奥赛网www.52aosai.com:免费竞赛试题交流于是球的半径为，14．63个提示：记，故满足条件的集合为个一、解答题：15．解：因为，所以所以，，，故16