数列裂项求和练习题

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1、精品文档数列裂项求和练习题数列问题是高考的一大热点，而且综合性较强，既注重基础知识的掌握，又注重数学思想与方法的运用。而此类问题大多涉及数列求和，所以数列求和方法是学生必须掌握的，主要的求和方法有：公式法、拆项重组法、并项求和法，裂项相消法、错位相加法、倒序相加法等等，而裂项相消法是其中较为基础、较为灵活的一种，也是出现频率最高，形式最多的一种。下面就例举几种裂项求和的常见模型，以供参考。模型一：数列{an}是以d为公差的等差数列，且d?0,an?0，则1111?anan?1danan?1例1已知二次函数y?f的图

2、像经过坐标原点，其导函数为f’?6x?2，数列{an}的前n项和为Sn，点均在函数y?f的图像上。求数列{an}的通项公式；m1，求使得Tn?对所有n?N?Tn是数列{bn}的前n项和，20anan?12016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创22/22精品文档设bn?都成立的最小正整数m；解：设这二次函数f＝ax2+bx,则f`=2ax+b,由于f`=6x－2,得a=,b=－2,所以f＝3x2－2x.又因为点均在函数y?f的图像上，所以Sn＝3n2－2n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－111

3、33?)，＝＝6?5anan?1??由得知bn?故Tn＝?bi＝i?1n12111111?1?＝1－）.??...???6n?177136n?56n?1?2?11m1m因此，要使1－）26n?120220即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10..例2在xoy平面上有一系列点P1,2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创22/22精品文档，点Pn在函数P2，…，Pn，…，以点Pn为圆心的圆Pn与x轴都相切，y?x2的图象上，且圆Pn与圆Pn+1又彼此外切.若x1?1,且xn?1?xn.求数列{

4、xn}的通项公式；设圆Pn的面积为Sn,Tn??求证:Tn?解：圆Pn与Pn+1彼此外切，令rn为圆Pn的半径，?PnPn?1?rn?rn?1,2?2?yn?yn?1,两边平方并化简得2?4ynyn?1,222由题意得，圆Pn的半径rn?yn?xn,2?4xnxn?1,?xn?xn?1?0,?xn?xn?1?2xnxn?1,即1xn?1?1?2,xn?数列11}是以?1为首项，以2为公差的等差数列，xnx1所以11?1??2?2n?1,即xn?xn2n?12016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创2

5、2/22精品文档24??xn?Sn??rn2??yn?4，11???]23因为Tn?S1?S2???Sn?[1??1.33.5111111?{1?[????]}23352n?32n?11133?[1?]???.22n?1222所以，Tn?3.1n?n?1?n?1?n1an?1模型二：分母有理化，如：1x?42016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创22/22精品文档2例3已知f?，f的反函数为g，点A在曲线y?g上，且a1?1证明数列{设bn?11an2}为等差数列；11?anan?1,记Sn?b1

6、?b2???bn，求Sn解∵点An在曲线y=g上，∴点在曲线y=f上an?1?4an,并且an>0?1an?1?4?1an2，?2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创22/22精品文档1an?12?1an2?4，∴数列{1an2}为等差数列∵数列{1an21an2}为等差数列，并且首项为1a12=1，公差为4，14n?3∴=1+4，∴an2?11，∵an>0，∴an?4n?32016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创22/22精品文档4n?1?4n?3,4，bn＝111?anan

7、?1=4n?3?4n?1?∴Sn＝b1＋b2+…＋bn=例4设N?24012?19?5??.......?44N4n?1?4n?3n?1?1=44，则不超过n?1。解：????,N2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创22/22精品文档N?1?2?,n?2N??N2???n?1n?1?1)?1)?n?1?1?1),?2?1)?n?N?2?22006?1,?不超过n?122007?2。n11模型三：=－2n－12n+1－1例5设数列?an?的前n项的和Sn?求首项a1与通项an；n32n设Tn?，

8、n=1,2,3,…，证明：?Ti?2Sni?12016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创22/22精品文档412an??2n?1?，n=1,2,3,….33412412.解:由Sn=an－2n+1+,n=1,2,3，…,①得a1=S1=a1－4+333333所以a1=2.412再由①有Sn－1=an－1－×2n+，4,…33341将①和②相减