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1、傅里叶级数的数学推导但傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都侖着广泛的应用，这不由得让人肃然起敬。一打开《倍号与系统》、《锁相环原理》等书籍，动不动就跳fli一个“傅里叶级数”或“傅里叶变换”，弄一长串公式，让人云山雾罩。如下就足傅里叶级数的公式：f(t)=aQ+alcos(6wO+Asin(dt)+02cos(2dt)+Z?2sin(2^)+…+%cos(nai)+bnsin(na)t)+…00=aocos(776^)+^①«=i其中=^if+T^dt②=.J:+r/(0COS⑽)忒③bn=—f°+r/(/)s'in(n
2、eti)dt④T不客气地说，这个公式可以说是像“臭婆娘的裹脚布——又臭又长”，而且來历和当蹊跷，不知那个傅里叶什么吋候灵光乍现，把-•个周期函数f(t)硬生生地写成这么一大堆东西。单看那个①式，就是把周期函数f(t)描述成一个常数系数aO、及1倍03的sin和cos函数、2倍co的sin和cos函数等、到n倍03的Sin和cos函数等一系列式子的和，且每项都奋不同的系数，即An和Bn,至丁•这些系数，需耍川积分來解得，即②③④式，不过为了积分方便，积分区间一般设为[-Ln],也相当一个周期T的宽度。能否从数学的角度推好•出此公式，以使傅里叶级数来得明白些，让我等能
3、了解它的前世今生呢？下面来详细解释一下此公式的得出过程：1、把一个周期函数表示成三角级首先，周期函数是客观世界屮周期运动的数孚农述，如物体挂在弹簧上作简谐振动、中.摆振动、无线电电子振荡器的电了振荡等，大多可以农述为：f(x)=Asin(ot+w)这里t农示时间，A农示振幅，u为角频率，4/为初和(与考察时设置原点位置有关)然而，世界上许多周期信号并非正弦函数那么简单，如方波、三角波等。傅叶里就想，能否川一系列的三角阑数Ansinhou+M；)之和來表示那个较复杂的周期函数f(t)呢？因为正弦函数sin可以说足最简单的周期函数了。于足，傅里叶写岀下式：(关丁•傅里
4、叶推导纯属猫•想)/(/)=4+2^sin(伽+的⑤刀=1这里，t是变量，其他都是常数。与上面最简单的正弦周期函数相比，5式屮多了一个n,.H.n从1到无穷大。这里f(t)是已知函数，也就是需要分解的原周期函数。从公式5来看，傅里叶足想把一个周期函数表示成许多正弦函数的线性叠加，这许许多多的正弦函数有着不同的幅度分fi(即式中An)、冇不同的周期或说足频率(足原周期函数的整数倍，即n)、有不冋的初相角(即V),当然还有-项常数项(即A0)。要命的是，这个n是从1到无穷大，也就是是一个无穷级数。应该说，傅里叶是一个天才，想得那么复杂。一般人不太会把一个简单的周期函数
5、弄成这么一个复杂的表示式。但傅里叶认为，式子右边一大堆的函数，其实都是最简单的正弦函数，有利于后续的分析和计算。当然，这个式能否成立，关键是级数中的每一项都有一个未知系数，如AO、An等，如災能把这些系数求出米,那么5式就可以成立。当然在5式中，唯一已知的就是原周期函数f(t)，那么只需川已知函数f(t)米表达出各项系数，上式就可以成立，也能计算了。于是乎，傅里叶首先对式5作如下变形：4,sin(/26M^+%)=X/?•sin%-cos(wd^)+Xz?•cos炉”sin(/?6^)这个变换并不陌生，源自于三角公式：sin(or±/?)=sincrcos0土co
6、sa•sin0式中，蓝色项X/rsin%和Xw.cos灼均为常数，写作bn=这样，公式5就可以写成如下公式6的形式：/(0=00+2[久cos(z?6rf)+屯sin(/w^)]n=l这个公式6就是通常形式的三角级数，接下来的任务就是要把各项系数an和bn及aO用已知函数f(t)來表达出來。2、三角函数的正交性:这是为K—步傅里叶级数碾JT时所用祝分的推备知识。一个三角函数系：1，cosx,sinx，cos2x,sin2x，…，cosnx，sinnx,…如果这一堆函数（包括常数1）中任何两个不同函数的乘积在区间［-71,n］上的积分等于零，就说三角函数系在区间［-
7、71，71］上正交，即有如下式子：cosnxdx=0(n=1，2,3,...)sinnxdx=0(n=1，2,3,...)sinkx-cosnxdx=0(k，n=1，2,3,...)cosAx•cosnxdx=0{k，n=1，2,3,.•.;kn)sinAx•sinnxdx=0、k，n=1，2,3,...；A*z?)以上芥式在区间［_n,id的定积分均为0,第1笫2式可视为三角函数cosfllsin与1相乘的积分；第3-5式则为sin和cos的不同组合相乘的积分式。除了这5个式子外，不可能再奋其他的组合了。注意，第4第5两个式中，k不能等•丁否则就不属于“三角函数
8、系中任意两
