从一道习题谈间接法在立体几何填空题中的应用

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1、从一道习题谈间接法在立体几何填空题中的应用在立体几何的证明题中，间接法应用很广泛，主要是利用平移即找已知直线（面）的平行线（面)，先证明平行线、面满足题意再对结论进行证明，学生经过一定的训练，大多能掌握。但是在填空题和判断题中，间接法的形式主要体现在构造新平面和新几何体上，由于不重视，讲得也少，学生不易考虑到。其实在不少填空题和判断题中若能使用间接法，可以起到意想不到的效果。　　《高考直通车》配套巩固练习54有这样一道练习题：已知直线m,n及平面α，其中m//n,那么在平面α内到两条直线m,n距离相等的点的集合可能是①一条直线；②一个平面；③一个点；④空集。其中正确的是。　　学生给出

2、的答案是千奇百怪，什么样的组合都有。而书中参考答案是①②③④。于是，我思考：　　1.为什么学生选不全？　　2.学生基于怎样的考虑作出的解答？　　3.切入点正确吗？　　4.考虑的情况全面吗？　　后来通过与学生的交流发现他们采用的是直接法通过改变平面α与两条平行直线的位置关系得到的结论，只不过考虑不全，综合起来总的有以下四种情况：　　情况2：m⊥α，n⊥α，此时为一个点；　　情况4：m∥α，n∥α，且分布在平面α两侧，为一个平面。　　似乎问题得到了有效的解答。其实不然，引导学生认真分析情况2，追问：真的只有一个点吗？为什么？　　学生思考后，解答如下：设两个交点分别为A、B，取其中点P，作

3、中垂线，并在中垂线上任取一点Q,连接AQ、BQ不难证明ΔAPQ≌ΔBPQ，从而AQ=BQ，因为Q是任意的一点，所以中垂线上任意一点皆满足题意，与第一种情况相同，故而否定了③。于是引导学生：　　1.是否还有哪种情况未考虑到？　　2.能否换一种方式来思考，免去这种因考虑不全引起的苦恼？　　学生开始陷入沉思，但始终走不出困境，于是，老师再次点拨：　　到两条直线m,n距离相等的点的集合是？　　学生略加思考后，回答是一个平面。设此平面为β，继而问题转化为：　　平面α与β间的关系，学生于是恍然大悟，答案应为①②④。从而否定了参考答案。通过这一题的解答，很大程度上提升了学生学习数学的自信心和积极性

4、，破除了学生对参考答案的迷信，培养了学生良好的思维习惯。最后师指导学生反思：　　1.立体几何与平面几何相比，思维空间扩大了，所以思考问题时，视角要从二维平面转化为三维空间，考虑问题要全面，逐步培养自己的空间思维能力，才不致出现情况2中的错误。　　2.方法2的独特之处是什么？由直接变为间接。先找出与m,n等距离的所有点构成的平面β，再找平面α与β间的关系，从而确定结论。避免了考虑不全导致的错解。　　间接法有很多好处，那么什么时候用间接法？通常解答数学题时，采用正难则反策略。即直接求解情况较多，易考虑不全；直接求解繁琐或很困难时，采用间接法。　　为了让学生对间接法有进一步认识，师又给出以

5、下两道练习题：　　判断正误：　　2.和两条异面直线都平行的两平面平行.　　部分学生按直接法能得到答案，但是追问为什么，却说不清，还有部分学生不能得出结论，师趁机问：能不能退一步考虑，采用间接法？　　学生思考后交流如下：　　题1：先间接求出与n垂直的平面β，再对平面α与β的关系进行判断。　　题2：先将异面直线平移至相交就可以确定一个新平面γ，再判断平面γ与两已知平面的关系即可。　　可以看出学生已经掌握了间接法的应用技巧，但还需增强间接法的应用意识。师乘胜追击，又给出了一道练习，让学生能进行知识迁移：　　三个平面两两互相垂直，它们的三条交线交于一点O，P到三个平面的距离分别是3，4，5，

6、则OP的长为。　　学生学习了空间直角坐标系，能够想到构造直角坐标系求解。当然也可以看成构造以OP为体对角线的长方体。　　通过以上四个例子，可以帮助学生增强间接法的应用意识，通过对题意的理解，迅速确立解题思路，能够有效地增强学生学习数学的自信心。　　（单位江苏省扬州市宝应县范水高级中学）