对边际分析和最优化原理的探讨(1)

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1、对边际分析和最优化原理的探讨(1)　　内容摘要：管理决策问题往往也就是最优化问题，常用的方法就是边际分析法，但利用边际分析法对离散的点进行最优化决策分析时，往往会与实际情况产生一些冲突。本文以无约束条件下最优业务量的确定为例，利用高等数学一阶导数和极值理论分析冲突产生的原因，并提出利用拟合曲线的统计方法处理和解决类似问题的方法。　　　关键词：边际分析最优化极值理论拟合曲线　　管理决策问题往往也就是最优化问题，而比较常用比较方便的方法就是边际分析法。本文以无约束条件下最优业务量的确定为例对边际分析和最优化原理运

2、用中存在的问题进行探讨。所谓“无约束”，即产品产量、资源投入量、价格和广告费的支出等都不受限制。在这种情况下，最优化的原则是：边际收入等于边际成本，也就是边际利润为零时，利润最大，此时的业务量为最优业务量。　　问题的提出　　利用边际分析的方法确定最优化业务量的问题很普遍，往往类似于以下案例的形式：　　某农场员工在小麦地里施肥，所用的肥料数量与预期收获量之间的关系估计如表1所示。　　假定肥料每公斤价格为3元，小麦每公斤的价格为元。问：每亩施肥多少公斤能使农场获利最大？　　根据无约束条件下最优业务量的确定原则，当

3、边际收入等于边际成本时，施肥量为最优。　　边际收入=边际收获量×小麦价格　　边际成本=肥料价格　　因此，可由此计算各种施肥数量条件下边际收入、边际成本和边际利润，如表2所示。　　从表2中可知，当每亩施肥数量为50公斤时，边际收入=边际成本，边际利润为零，即每亩施肥数量50公斤为最优施肥量。　　　此时，总利润=总收入-总成本=×480-3×50=570（元）为最大。　　这是这种问题的常规解法，诸多教科书上也是这样解答的。但我们发现，当施肥数量为40公斤的时候，总利润也是570元（总利润=总收入-总成本=×460

4、-3×40=570元），亦即利润最大，而40公斤的施肥量小于根据规则计算出的最优投入量50公斤，显然最优施肥数量应该为40公斤。这就和最优化原理发生了冲突，为什么会导致如此结果呢？　　边际的概念和最优化原理　　经济学中的边际指的是因变量随着自变量的变化而变化的程度，即自变量变化一个单位，因变量会因此而改变的量。边际的概念植根于高等数学的一阶导数的概念，如果函数的自变量为多个，则针对每个自变量的导数为偏导数。　　　　　这里涉及到一个因变量和自变量的函数关系，针对管理决策而言常常要建立一个经济模型，也就是一个因变

5、量和自变量的连续函数y=f(x)，函数的一阶导数f’(x)（也可表示为dy/dx）就是边际值。如果不是连续函数，则变化率Δy/Δx就是边际值。　　在高等数学里，连续函数的极值定理是设函数y=f(x)在点x0处有导数，且在点x0处取得极值，那么该函数在x0处的一阶导数f’(x0)=0。严格从数学意义上讲，极值点的一阶导数为零，但一阶导数为零的点则不一定是极值点。但我们在处理现实中的决策问题时，一般来说一阶导数为零的点就是极值点。　　而最优化原理——边际利润为零时利润最大，也就相当于高等数学里面的当y对x的一阶导

6、数f’(x)=0时，y取得极值（在经济学或者现实中一般是最大值）。因此，当函数为连续函数时，最优化原理是符合数学原理的。　　但是，我们在做管理决策时往往很难建立精确的经济模型，也就是说因变量和自变量之间不是以连续函数的形式出现的，而往往是以离散的数列出现的，在计算边际值时就不可能用导数，而是用变化率Δy/Δx，这就使我们在应用最优化原理的时候出现了冲突。　　边际分析和最优化原理的结合　　现实生活中最优化问题的精确模型很少，多数是以一系列离散的实际观察数列来表现，类似于上述案例。这种情况下，我们可以将离散数列拟

7、合成连续模型来处理。　　　针对上述案例，我们先将利润计算如表3所示。其中总利润=总收入-总成本=×预期每亩收获量-3×每亩施肥量。　　然后以每亩施肥量为横坐标，总利润为纵坐标将这些离散的点绘制在图1中，并将各点连接起来，如图1中的原折线。首先我们将这些实际观察数列拟合为高精度曲线，这样离散数值便转化为连续模型。然后我们再利用边际方法来讨论最优化问题，就会避免因为类似本文中的离散数列产生的不严谨。　　曲线的拟合问题有多种统计方法可以处理，比如本文中利润与施肥量的关系，可以用最小平方法拟合为二次曲线，y=-++（

8、当然还可以寻找更高精度的曲线），见图1中的拟合曲线。对于该拟合曲线，可以求得x=时，y的边际值为零，也就是y取得最优值（此时为最大值）。　　最后在原离散数列中找到离拟合曲线最优点最近的前后两点（如本文案例中施肥量为40公斤和施肥量为50公斤对应的两点），利润值较大者为最优值，其对应的投入即为最优投入；如果利润值相等，则该利润值为最优值（如本文案例中的570元的利润），较少的投入量为最优投入（如本文案