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时间:2018-10-22
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1、二次函数的图像和性质一.本周教学内容:二次函数的图像和性质 二、本周学习目标掌握二次函数的图像和性质,能够确定二次函数的表达式,并能够对图像进行分析 1.与之间关系,() 2.顶点坐标 对称轴 (0,0) y轴 (0,k) y轴
2、 (h,0) 直线x=h (h,k) 直线x=h。 3.二次函数顶点坐标(,),对称轴是直线。 4.二次函数图象的画法。 (1)通过配方法,将一般式化为形式; (2)确定抛物线的开口方向,对称轴,顶点坐标; (3)在对称轴两侧,以顶点为中心,左右两侧对称描点。 5.求二次函数解析式。 (1)一般式: (2)顶点式
3、: (3)交点式:,其中(,0),(,0)分别为抛物线与x轴的两个交点。 (4)对称点式:,其中(),()为抛物线上关于对称轴对称的两个点。6.抛物线中,的作用(1)决定开口方向及开口大小,这与中的完全一样.(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线,故:①时,对称轴为轴;②(即、同号)时,对称轴在轴左侧;③(即、异号)时,对称轴在轴右侧.(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时,,∴抛物线与轴有且只有一个交点(0,):①,抛物线经过原点;②,与轴交于正半轴;③,与轴交于负半轴.以上三点中,当结
4、论和条件互换时,仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧,则. 三、考点分析二次函数的图像和性质、确定二次函数的表达式、确定二次函数图像特征,这三点在中考考点中均是要求学生能够熟练掌握的内容。 【典型例题】例1.已知抛物线。 (1)求抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标; (2)求抛物线与轴、轴的交点坐标; (3)画出函数图象(草图); (4)根据图象说出:x为何值时,y随x增大而增大?x为何值时y随x增大而减小?函数y有最大值还是最小值?最值是多少? 分析:通过配方或利用顶点坐标公式求出顶点坐
5、标和对称轴,再利用五点作图,并根据图象回答增减性及最值。 解:(1)配方:得 ∵ ∴抛物线开口向下 对称轴: 顶点坐标是(,2) (2)令即,得,。∴它与x轴的交点坐标为(,0),(,0)再令即∴它与y轴交点坐标为(0,)(3)∵顶点A(,2),对称轴,与x轴交点为B(,0),C(,0)与y轴交点D(0,)。D关于对称轴的对称点E(,),将E、B、A、C、D这5点连接成光滑曲线,即得抛物线图象。(4)从图象可知,当时,随x增大而增大。当时,随x增大而减小。∵抛物线开口
6、向下,∴顶点A为最高点,函数有最大值即当时,=2。点拨:(1)五点作图法是画二次函数图象的简易作图法,这五点是抛物线的五个特征点:即顶点,与x轴的两个交点,与y轴的交点及该交点关于抛物线对称轴的对称点。(2)有时候函数与x轴没有交点,则选取作图点的时候要考虑抛物线的对称性,以对称轴为中心对称取点。 例2.已知抛物线y=ax+bx+c的顶点是A(-1,4)且经过点(1,2)求其解析式。分析:此类题型可设顶点坐标为(m,k),故解析式为y=a(x-m)+k.在本题中可设y=a(x+1)+4,再将点(1,2)代入求得a=-∴y=-即y=-由
7、于题中只有一个待定的系数a,将已知点代入即可求出,进而得到要求的解析式。 例3.如图所示,二次函数的图像经过A、B、C三点。(1)观察图像,写出A、B、C三点的坐标,并求出函数的解析式;(2)求此抛物线的顶点坐标和对称轴。分析:求函数解析式时,我们要注意考虑函数表达式的三种一般形式,并能够根据题目条件来选取合适的表达式来求解。顶点坐标和对称轴则可以用相应的公式来求解。解:(1)A(,0),B(3,0),C(0,),将三点坐标代入,得 解得∴二次函数的解析式为。(2)∵,,∴顶点坐标为,对称轴为直线。点拨:当给出抛物线y=ax+
8、bx+c上的三点时,可采取列方程组,求出a、b、c的值,即可求出函数的解析式。对于本题来说,我们还可以发现A、B两点是图像与x轴的交点,本题也可以采用交点式来求解,而且解法要比一般式要简单。 【模拟试题】(答题时间:30
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