高考总结——“充要条件”中常见题型例析

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1、高考总结——“充要条件”中常见题型例析　　　　一　单个判断问题　　关键是考察给定的两个条件中，看哪个能推出哪一个。　　例1　“若ａ，ｂ∈R，则ａ＋ｂ＞0”的一个充分不必要条件是＿＿＿＿：①ａｂ＞0；　②ａ＞0或ｂ＞0；　③ａ＋ｂ＞2；　④ａ＞0且ｂ＞0。解析　由题意知“充分不必要条件”是指：选项已知，但已知≠>选项.据此考察四个选项：①ａｂ＞0==>ａ，ｂ同号≠>ａ＋ｂ＞0；②ａ＞0或ｂ＞0≠>ａ＋ｂ＞0；③ａ＋ｂ＞2==>ａ＋ｂ＞0，但ａ＋ｂ＞0≠>ａ＋ｂ＞2；④ａ＞0且ｂ＞0ａ＋ｂ＞0，但ａ＋ｂ＞0≠>ａ＞0且ｂ＞0。故填③④。二　多重判断问题关键是将

2、所有充分条件转化为“==>”和“≠>”表示，画出它们的关系网络图，再找要求的两个条件之间的互推关系。例2　已知ｐ、ｑ都是ｒ的必要条件，ｓ是ｒ的充分条件，ｑ是ｓ的充分条件，则ｐ是ｑ的＿＿＿＿条件。解析　由题意画出关系网络图：qp，q==>s==>r。　从而知ｑ==>ｐ。故ｐ是ｑ的必要条件。三　条件证明问题例3　求证：关于ｘ的方程ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＝0有一个根为1的充要条件是ａ＋ｂ＋ｃ＝0。解析　关键是要弄清条件和结论之间的关系，分两步证明，即证充分性和必要性。先证充分性：∵ａ＋ｂ＋ｃ＝0，即ｃ＝－ａ－ｂ。∴ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＝ａｘ2＋ｂｘ－ａ－ｂ＝。∴原方程即＝

3、0，故关于ｘ的方程ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＝0有一个根为1。再证必要性：∵ｘ＝1是方程ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＝0的根。∴ａ•12＋ｂ•1＋ｃ＝0，即ａ＋ｂ＋ｃ＝0。综合以上证明得，关于ｘ的方程ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＝0有一个根为1的充要条件是ａ＋ｂ＋ｃ＝0。四　条件求解问题求充要条件问题一般有两种处理方法，一是将题意等价转化化简求得；二是先由题意求出条件，再证明充分性。例4　设ａ、ｂ、ｃ为△ABC的三边，求方程ｘ2＋2ａｘ＋ｂ2＝0与ｘ2＋2ｃｘ－ｂ2＝0有公共根的充要条件。解析　先由题意求出条件：设α是两方程的公共根，显然α≠0，则α2＋2ａα＋ｂ2＝0①，α2＋2ｃα－ｂ

4、2＝0②.　①②相加得2α2＋2α＝0。∴α＝－代入①得2－2ａ＋ｂ2＝0即ａ2＝ｂ2＋ｃ2。以上求条件的过程事实上就是必要性的证明过程。再证明充分性：∵ａ2＝ｂ2＋ｃ2.　∴方程ｘ2＋2ａｘ＋ｂ2＝0可化为ｘ2＋2ａｘ＋ａ2－ｃ2＝0，它的解为ｘ1＝－，ｘ2＝ｃ－ａ。同理方程ｘ2＋2ｃｘ－ｂ2＝0可化为ｘ2＋2ｃｘ＋ｃ2－ａ2＝0，它的解为ｘ3＝－，ｘ4＝ａ－ｃ。∵ｘ1＝ｘ3，∴方程ｘ2＋2ａｘ＋ｂ2＝0与ｘ2＋2ｃｘ－ｂ2＝0有公共根。综上所述得，方程ｘ2＋2ａｘ＋ｂ2＝0与ｘ2＋2ｃｘ－ｂ2＝0有公共根的充要条件是ａ2＝ｂ2＋ｃ2。