第三章 导数和其应用整章知识体系构建(理)

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1、第三章《导数及其应用》整章知识体系构建（理）导数定义导数的几何意义导函数四则运算求导法则复合函数求导法则求简单函数的导数导数的应用导数的实际背景求函数的极大(小)值求函数的最大(小)值基本求导公式定积分及其简单应用判断函数的单调性[思想、方法、技巧提炼及能力提升]一.主干知识整合1.了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导数的概念。2、熟记基本导数公式：xm(m为有理数)、sinx、cosx、ex、ax、lnx、logax的

2、导数；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。有关导数的内容，在2000年开始的新课程试卷命题时，其考试要求都是很基本的，以后逐渐加深，考查的基本原则是重点考查导数的概念和计算，力求结合应用问题，不过多地涉及理论探讨和严格的逻辑证明。本部分的要求一般有三个层次：第一层次是主要考查导数的概念，求导的公式和求

3、导法则；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的极值、单调区间、证明函数的增减性等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性等有机地结合在一起，设计综合题，通过将新课程内容和传统内容相结合，加强了能力考查力度，使试题具有更广泛的实际意义，更体现了导数作为工具分析和解决一些函数性质问题的方法，这类问题用传统教材是无法解决的。二.常用的数学思想1.函数与方程思想；2.导数思想；3.数形结合思想。第11页共11页三.方法、技巧提炼1.定义法:根据导数的定义，将所求问题转化

4、为可用导数定义来解决。2.导数几何意义法；3.导数法求函数的单调区间（讨论函数的单调性）；4.导数法证明不等式；5.导数法求函数的极值、最值；6.导数法解决实际问题四.案例探究,内化整合例1(2006年德州市统考)已知函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是。思路分析：考查导数的运算及利用导数知识求函数的极值等基本知识和分析问题、解决问题的能力。解：∵f′(x)=3x2+6ax+3a+6，令f′(x)=0，则x2+2ax+a+2=0又∵f(x)既有极大值又有

5、极小值∴f′(x)=0必有两解，即△=4a2-4a-8＞0解得a＜-1或a＞2。锦囊妙计：本题通过求函数的导数，将函数问题转化为一元二次方程来探究，充分体现了函数与方程相互转化的解题思想与解题策略。【举一反三】已知f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1，试讨论函数y=f(x)的单调性提示：按分△＞O，△=O，△

6、)当x∈[-1,1]时，图象上是否存在两点，使得过此两点的切线互相垂直？试证明你的结论；(3)若x1,x2∈[-1,1]时，求证：

7、f(x1)-f(x2)

8、≤。【考查目的】本题主要考查导数的几何意义、导数的基本性质和应用、绝对值不等式以及综合推理能力。解(1)∵函数f(x)图象关于原点对称，∴对任意实数x，都有f(-x)=-f(x).∴-ax3-2bx2-cx+4d=-ax3+2bx2-cx-4d，即bx2-2d=0恒成立.∴b=0,d=0,即f(x)=ax3+cx.∴f′(x)=3ax2+c.∵x=1时,

9、f(x)取极小值-.∴f′(1)=0且f(1)=-,第11页共11页即3a+c=0且a+c=-.解得a=,c=-1.(2)证明：当x∈[-1,1]时，图象上不存在这样的两点使结论成立，假设图象上存在两点A(x1,y1)、B(x2+y2)，使得过这两点的切线互相垂直，则由f′(x)=x2-1，知两点处的切线斜率分别为k1=x12-1,k2=x22-1,且(x12-1)(x22-1)=-1.(*)∵x1、x2∈[-1,1],∴x12-1≤0，x22-1≤0∴(x12-1)(x22-1)≥0，这与(*)相矛盾，故

10、假设不成立.(3)证明：∵f′(x)=x2-1,由f′(x)=0,得x=±1.当x∈(-∞，-1)或（1，+∞）时，f′(x)＞0;当x∈(-1，1)时，f′(x)＜0.∴f(x)在[-1,1]上是减函数，且fmax(x)=f(-1)=,fmin(x)=f(1)=-.∴在[-1,1]上，

11、f(x)

12、≤.于是x1,x2∈[-1,1]时，

13、f(x1)-f(x2)

14、≤

15、f(x1)

16、+

17、f(x2)

18、≤+=.故x1,x2∈