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1、§7.5离散系统的稳定性与稳态误差§7.5.1s→z映射§7.5离散系统的稳定性与稳态误差稳定系统的特征方程的根全部位于s平面的左半部。这一概念也适用于线性采样系统。线性采样系统特征方程可以令脉冲传递函数的分母为零而得到，特征方程根的位置就确定了系统是否稳定。为了在z平面上讨论线性采样系统的稳定性，必须知道s平面和z平面的对应关系。由z变换定义：令：则：结论：S平面的稳定区域在Z平面上的影象是单位圆内部区域图参见P348§7.5.2离散系统稳定的充要条件是——F(z)的全部极点均位于z平面的单位圆内证明：—充分性—必要性推广的劳斯稳定判据：在线性采样系统中，对z的有理
2、多项式，经的双线性变换，得到w的代数方程就可以应用劳斯判据判稳了。为了区别s平面下的劳斯判据，称w平面下的劳斯判据为推广的劳斯稳定判据。§7.5.3离散系统的稳定判据（1）w变换及w域的劳斯稳定判裾因劳斯判据不能直接套用，须引入另一线性变换：w变换设[w]虚轴[z]单位圆对应w平面z平面单位圆内外的点双线性变换例１已知离散系统特征方程，判定系统稳定性。系统不稳定直接根据离散系统的闭环特征方程D(z)=0的系数，判别其根是否位于z平面上的单位园内，从而判断离散系统是否稳定。(2)Z域中的朱利(Jurry)稳定判据朱利阵列见P353。朱利稳定判据见P353。例2已知离散系
3、统特征方程，判定系统稳定性。系统不稳定例3已知离散系统特征方程，判定系统稳定性。系统稳定例4离散系统结构图如图所示，T=1s,求使系统稳定的K值范围。解法I—w域中的Routh判据解法II—z域中的朱利(Jurry)稳定判据例4系统结构图如图所示,T=0.25,求使系统稳定的K值范围。①②③④K与T对离散系统稳定性的影响：T一定，K增大，离散系统的稳定性变差，甚至使系统变得不稳定。K一定，T增大，则丢失的信息越多，离散系统的稳定性变差，甚至使系统变得不稳定。§7.5.4计算稳态误差的一般方法若e(z)的极点全部位于Z平面的单位园内，即离散系统是稳定的，则可用Z变换的
4、终值定理求出采样瞬时的稳态误差。线性定常离散系统的稳态误差，不但与系统本身的结构参数有关，与输入序列的形式及幅值有关，而且还与采样周期T有关。1.Z变换中值定理法例１.已知离散系统结构图,K=10,T=0.2,求r(t)=1(t),t,t2/2时系统的e(∞)。解．系统稳定Jury:T=0.2,K=102.静态误差系数法——r(t)作用时e(∞)的计算规律(适用于系统稳定,r(t)作用,对误差采样的线性离散系统)设静态位置误差系数静态速度误差系数静态加速度误差系数解．例2稳定离散系统的结构图如图所示，已知r(t)=2t,试讨论有或没有ZOH时的e(∞)。无ZOH时有Z
5、OH时—与T有关—与T无关例3已知系统结构图(T=0.25),r(t)=2·1(t)+t,使e(∞)<0.5,求K范围。解．判定稳定性Jury:综上：1.通过闭环脉冲传递函数（或直接），求出系统在典型输入信号（通常假定为单位阶跃函数）作用下的输出响应C(z)，并展成幂级数；2.通过z反变换，求出输出信号的的脉冲序列c*(t)；3.离散系统的时域指标的定义与连续系统相同。§7.6离散系统动态性能分析一.离散系统的时间响应通过闭环脉冲传递函数，求出系统在典型输入信号作用下的输出响应，可以分析系统的动态性能。根据系统在z平面上的零、极点分布，也可以估计系统的动态性能。例4系
6、统结构图如图所示,T=K=1,求系统动态指标(σ%,ts)。解．用长除法求系统单位阶跃响应序列h(k)．采样器和保持器不影响开环脉冲传递函数的极点，但影响开环脉冲传递函数的零点，则影响闭环脉冲传递函数的极点；从而影响闭环离散系统的动态性能。二.采样器和保持器对动态性能的影响1.采样器可使系统的峰值时间和调节时间略有减小，但超调量增大。采样造成的信息丢失会降低系统的稳定程度；但在大延迟的系统中，误差采样反而会提高系统的稳定程度。2.零阶保持器使系统的峰值时间和调节时间加大，超调量和振荡次数增加。零阶保持器的相角滞后降低了系统的稳定程度。结论：例4系统结构图如图所示,T=
7、K=1,求系统动态指标(σ%,ts)。解．例4续．图连续与离散系统的时间响应曲线．离散系统闭环脉冲传递函数的极点在z平面上单位园内的分布，对系统的动态响应具有重要的影响。三.闭环极点与动态响应的关系1.闭环实数极点位于右半z平面，则输出动态响应形式为单向正脉冲序列。园外发散，圆上等幅，园内收敛；且实极点越接近原点，收敛越快。2.闭环实数极点位于左半z平面，则输出动态响应形式为双向交替脉冲序列。园外发散，圆上等幅，园内收敛；且实极点越接近原点，收敛越快。1.正实轴上的闭环单极点（见下页图）结论：因衰减脉冲交替变号，故动态工程质量很差。综上：在离散系统设
