系统稳态误差及稳定性分析

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1、第六章系统稳态误差及稳定性分析第二节控制系统的稳定性判据2014.10.29反馈控制的基本任务，就是维持被控对象的输出量以一定的准确性跟随控制量（给定值）。对稳定系统来说，输入为零时，输出也将为零。系统能够正常工作的条件，首先是被控的输出量不要因受扰动而越来越偏离其工作点。系统稳定性的概念若系统由于输入量所引起的瞬态响应，在外加信号消失后，随时间的推移而衰减并趋于零，则称该系统为稳定系统。—不稳定的平衡点系统的稳定性，是系统本身的固有特性。只与系统的结构参数有关，而与输入量无关稳定性分析示意图—稳定的平衡点系统在初始条件的影响下，其过渡过程随时间的推移逐渐衰减

2、并趋于零，称为稳定系统稳定的条件设系统的传递函数为,方程B(s)=0称为系统的特征方程系统稳定的充要条件为：系统特征方程的全部根的实部为负。若系统特征根中有部分为零或者为纯虚数，则系统在输入量撤销后，随时间的推移而趋于一常数或者等幅振荡，称为临界稳定。从工程意义上来说，是不稳定的。系统不稳定产生的后果实际上，物理系统输出量只能增加到一定的范围，此后或者受到机械止动装置的限制，或者使系统遭到破坏，也可能当输出量超过一定数值后，系统变成非线性的，而使线性微分方程不再适用。劳斯判据系统稳定性的判据根据系统的特征方程可判断系统的稳定性。那么如何判定呢？根据系统特征方程

3、中系数与根的关系，间接判断出特征方程的根的情况。设系统的特征方程为则系统稳定的必要条件为：特征方程B(s)=0的各项系数bi的符号均相同且不等于零。系统稳定的必要条件劳斯在此基础上提出了系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件为：劳斯数列表中第一列各项的符号均为正且不等于零。若有负号存在，则发生符号的变化次数，就是不稳定根的个数。如则劳斯数列表为smb0b2b4b6…sm-1b1b3b5b7…sm-2C1C2C3C4…sm-3D1D2D3D4…………………s0…其中两个特殊情况：劳斯数列表中任一行第一项为零，其余各项不为零或者部分不为零解决方法：用一任意小的正数ε

4、代替零的那一项，然后继续计算。若上下项的符号不变，且第一列所有项的符号为正，则方程有共轭虚根，系统属临界稳定。劳斯数列表中任一行全为零解决方法：利用全为零的这一行的上一行的各项作系数组成一个多项式方程（最高阶次为该行的相应阶次，相邻项的阶次相差为2）；对辅助方程取导数得一新方程；以新方程的系数代替全为零的那一行。例1已知系统的特征方程为B(s)=s4+8s3+17s2+16s+5=0解用劳斯判据判断系统的稳定性。s41175s38160s2C1=C2=0s1D1=00s0E1=00劳斯数列表为1513.355例2已知系统特征方程为s3-3s+2=0。判断系统的

5、稳定性，若不稳定，试确定不稳定根的个数。解系统不稳定s31-30s20≈ε20s1C100s0D1=200故系统有两个不稳定根。例3++-Xi(s)Xo(s)+解系统传递函数为已知ξ=0.2,ωn=86.6，确定K取何值时系统才能稳定。=s3+34.6s2+7500s+7500Ks3+34.6s2+7500s+7500K所以，劳斯数列表为s3175000s234.67500K0s1C100s07500K00∴K>034.6x7500-7500K>0即K<34.6例4已知系统的传递函数为判别系统的稳定性解列劳斯数列表S5114200S4288800S3-30-2

6、000S274.78000S112100S080000胡尔维茨判据设系统的特征方程为则系统稳定的充要条件是特征方程各项系数均大于零；特征方程各项系数组成的行列式均为正，即b1b3b5…b2k-1b0b2b4…b2k-20b1b3…b2k-30b0b2…b2k-400b1…b2k-5…000…bkD1D2D3D1>0Dm>0D2>0…Dm-1>0Dm-3>0Dm-5>0例5已知系统传递函数为解用胡尔维茨判据确定系统稳定时的K。3K012003K特征方程的系数组成的行列式为D1=3D2=6-K>0D3=6K-K2>0{0

7、作量，经证明，如果满足bi>0的条件，则只计算半数的行列式，便可检查系统是否稳定。这半数行列式的选取是：Dm-1>0，Dm-3>0，Dm-5>0，∙∙∙∙∙∙m——特征方程的最高阶次例1已知系统的特征方程为B(s)=s4+Ks3+s2+s+1=0求系统稳定时K的取值范围B(s)=s4+Ks3+s2+s+1=0解（1）根据胡尔维茨判据的条件，要求K>0Dm-1>0，Dm-3>0（2）当Dk>0，则只要求D1和D3大于零，即D1=b1=K>0D3=b1b30b0b2b40b1b3K101110K1==-[(K-1)2+K]>0显然，不管K>0的任何值，上式均不成立

8、，故此系统是不稳定的三、关于时域判据的