立体几何证明题(文科)

立体几何证明题(文科)

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时间:2018-10-21

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1、立体几何练习1.如图:梯形和正所在平面互相垂直,其中,且为中点.(I)求证:平面;(II)求证:. 2.如图,菱形的边长为,,.将菱形沿对角线折起,得到三棱锥,点是棱的中点,.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求证:平面平面;ABABCCDMODO(Ⅲ)求三棱锥的体积.10PABCDQM3.如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,AD//BC,∠ADC=90°,BC=AD,PA=PD,Q为AD的中点.(Ⅰ)求证:AD⊥平面PBQ;(Ⅱ)若点M在棱PC上,设PM=tMC,试确定t的值,使得PA//平面BMQ.4.已知四棱锥的底面是菱形

2、.,为的中点.(Ⅰ)求证:∥平面;(Ⅱ)求证:平面平面.105.已知直三棱柱的所有棱长都相等,且分别为的中点.(I)求证:平面平面;(II)求证:平面.6.ABCDFE如图所示,正方形与直角梯形所在平面互相垂直,,,.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求证:平面;(Ⅲ)求四面体的体积.7.如图,在四棱锥中,平面PAD⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E、F分别是AP、AD的中点求证:(1)直线EF//平面PCD;(2)平面BEF⊥平面PAD.108.如图,四边形ABCD为正方形,QA⊥平面ABCD,PD∥QA,QA

3、=AB=PD.(I)证明:PQ⊥平面DCQ;(II)求棱锥Q—ABCD的的体积与棱锥P—DCQ的体积的比值.9.如图,在△ABC中,∠ABC=45°,∠BAC=90°,AD是BC上的高,沿AD把△ABD折起,使∠BDC=90°。(1)证明:平面ADB⊥平面BDC;(2 )设BD=1,求三棱锥D—ABC的表面积。10参考答案:1.证明:(I)因为为中点,所以又,所以有所以为平行四边形,所以又平面平面所以平面.(II)连接.因为所以为平行四边形,又,所以为菱形,所以,因为正三角形,为中点,所以,又因为平面平面,平面平面,

4、所以平面,而平面,所以,又,所以平面.又平面,所以.2.(Ⅰ)证明:因为点是菱形的对角线的交点,所以是的中点.又点是棱的中点,所以是的中位线,.因为平面,平面,10所以平面.(Ⅱ)证明:由题意,,因为,所以,.ABCMOD又因为菱形,所以.因为,所以平面,因为平面,所以平面平面.(Ⅲ)解:三棱锥的体积等于三棱锥的体积.由(Ⅱ)知,平面,所以为三棱锥的高.的面积为,所求体积等于.3.证明:(Ⅰ)AD//BC,BC=AD,Q为AD的中点,∴四边形BCDQ为平行四边形,∴CD//BQ.PABCDQMN∵∠ADC=90°∴∠

5、AQB=90°即QB⊥AD.∵PA=PD,Q为AD的中点,∴PQ⊥AD.∵PQ∩BQ=Q,∴AD⊥平面PBQ.(Ⅱ)当时,PA//平面BMQ.连接AC,交BQ于N,连接MN.10∵BCDQ,∴四边形BCQA为平行四边形,且N为AC中点,∵点M是线段PC的中点,∴MN//PA.∵MN平面BMQ,PA平面BMQ,∴PA//平面BMQ.4.(Ⅰ)证明:因为,分别为,的中点,所以∥.因为平面平面所以∥平面.(Ⅱ)证明:连结因为,所以.在菱形中,因为所以平面因为平面所以平面平面.5.(Ⅰ)由已知可得,,四边形是平行四边形,,平

6、面,平面,10平面;又分别是的中点,,平面,平面,平面;平面,平面,平面∥平面.(Ⅱ)三棱柱是直三棱柱,面,又面,.又直三棱柱的所有棱长都相等,是边中点,是正三角形,,而,面,面,面,故.四边形是菱形,,而,故,由面,面,得面.6.(Ⅰ)证明:因为平面平面,,所以平面,所以.因为是正方形,所以,所以平面.10(Ⅱ)证明:设,取中点,连结,所以,.因为,,所以,从而四边形是平行四边形,.因为平面,平面,所以平面,即平面.(Ⅲ)解:因为平面平面,,所以平面.因为,,,所以的面积为,所以四面体的体积.7.解:(1)因为E、

7、F分别是AP、AD的中点,又直线EF//平面PCD(2)连接BD为正三角形F是AD的中点,又平面PAD⊥平面ABCD,所以,平面BEF⊥平面PAD.8.解:(I)由条件知PDAQ为直角梯形因为QA⊥平面ABCD,所以平面PDAQ⊥平面ABCD,交线为AD.又四边形ABCD为正方形,DC⊥AD,所以DC⊥平面PDAQ,可得PQ⊥DC.在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=PD,则PQ⊥QD10所以PQ⊥平面DCQ.(II)设AB=a.由题设知AQ为棱锥Q—ABCD的高,所以棱锥Q—ABCD的体积由(I)知PQ为棱锥P—D

8、CQ的高,而PQ=,△DCQ的面积为,所以棱锥P—DCQ的体积为故棱锥Q—ABCD的体积与棱锥P—DCQ的体积的比值为19.(1)∵折起前AD是BC边上的高,∴ 当Δ ABD折起后,AD⊥DC,AD⊥DB,又DBDC=D,∴AD⊥平面BDC,又∵AD平面BDC.∴平面ABD⊥平面BDC.(2)由(1)知,DA,,,DB=DA=DC=1,AB=B

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