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1、立体几何练习1.如图：梯形和正所在平面互相垂直，其中，且为中点.(I)求证：平面；(II)求证：. 2.如图，菱形的边长为，,.将菱形沿对角线折起，得到三棱锥,点是棱的中点，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面平面；ABABCCDMODO（Ⅲ）求三棱锥的体积.10PABCDQM3.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，AD//BC，∠ADC=90°，BC=AD，PA=PD，Q为AD的中点．（Ⅰ）求证：AD⊥平面PBQ；（Ⅱ）若点M在棱PC上，设PM=tMC，试确定t的值，使得PA//平面BMQ．4.已知四棱锥的底面是菱形
2、．，为的中点．（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求证：平面平面．105.已知直三棱柱的所有棱长都相等，且分别为的中点.(I)求证：平面平面；（II）求证：平面.6.ABCDFE如图所示，正方形与直角梯形所在平面互相垂直，，，.(Ⅰ)求证：平面；(Ⅱ)求证：平面；（Ⅲ）求四面体的体积.7.如图，在四棱锥中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点求证：（1）直线EF//平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD.108.如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA
3、=AB=PD．（I）证明：PQ⊥平面DCQ；（II）求棱锥Q—ABCD的的体积与棱锥P—DCQ的体积的比值．9.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC=90°。（1）证明：平面ＡＤＢ⊥平面ＢＤＣ；（2 ）设BD=1，求三棱锥D—ＡＢＣ的表面积。10参考答案：1.证明:(I)因为为中点，所以又，所以有所以为平行四边形,所以又平面平面所以平面.(II)连接.因为所以为平行四边形，又,所以为菱形，所以，因为正三角形,为中点，所以，又因为平面平面,平面平面，
4、所以平面，而平面，所以，又，所以平面.又平面，所以.2.（Ⅰ）证明：因为点是菱形的对角线的交点，所以是的中点.又点是棱的中点，所以是的中位线，.因为平面,平面，10所以平面.（Ⅱ）证明：由题意，,因为,所以，.ABCMOD又因为菱形，所以.因为,所以平面，因为平面，所以平面平面.（Ⅲ）解：三棱锥的体积等于三棱锥的体积.由（Ⅱ）知，平面，所以为三棱锥的高.的面积为，所求体积等于.3.证明：（Ⅰ）AD//BC，BC=AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD//BQ．PABCDQMN∵∠ADC=90°∴∠
5、AQB=90°即QB⊥AD．∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ．（Ⅱ）当时，PA//平面BMQ．连接AC，交BQ于N，连接MN．10∵BCDQ，∴四边形BCQA为平行四边形，且N为AC中点，∵点M是线段PC的中点，∴MN//PA．∵MN平面BMQ，PA平面BMQ，∴PA//平面BMQ．4.（Ⅰ）证明：因为，分别为，的中点，所以∥．因为平面平面所以∥平面．（Ⅱ）证明：连结因为，所以．在菱形中，因为所以平面因为平面所以平面平面．5.（Ⅰ）由已知可得，，四边形是平行四边形，，平
6、面，平面，10平面；又分别是的中点，，平面，平面，平面；平面，平面，平面∥平面.(Ⅱ)三棱柱是直三棱柱，面，又面，.又直三棱柱的所有棱长都相等，是边中点，是正三角形，，而，面，面，面，故.四边形是菱形，，而，故,由面，面，得面.6.(Ⅰ)证明：因为平面平面，，所以平面，所以.因为是正方形，所以，所以平面.10(Ⅱ)证明：设，取中点，连结，所以，.因为，，所以，从而四边形是平行四边形，.因为平面,平面,所以平面，即平面.（Ⅲ）解：因为平面平面，,所以平面.因为,,，所以的面积为，所以四面体的体积.7.解：（1）因为E、
7、F分别是AP、AD的中点，又直线EF//平面PCD（2）连接BD为正三角形F是AD的中点，又平面PAD⊥平面ABCD，所以，平面BEF⊥平面PAD.8.解：（I）由条件知PDAQ为直角梯形因为QA⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD.又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC.在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=PD，则PQ⊥QD10所以PQ⊥平面DCQ.（II）设AB=a.由题设知AQ为棱锥Q—ABCD的高，所以棱锥Q—ABCD的体积由（I）知PQ为棱锥P—D
8、CQ的高，而PQ=，△DCQ的面积为，所以棱锥P—DCQ的体积为故棱锥Q—ABCD的体积与棱锥P—DCQ的体积的比值为19.（1）∵折起前ＡＤ是ＢＣ边上的高，∴ 当Δ ＡＢＤ折起后，AD⊥ＤＣ，AD⊥ＤＢ，又DBＤＣ＝Ｄ，∴ＡＤ⊥平面ＢＤＣ，又∵AD平面BDC.∴平面ABD⊥平面BDC．（2）由（1）知，DA,,,DB=DA=DC=1，AB=B
