平行线判定定理

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1、平行线分线段成比例定理重点难点解析重点：平行线分比例线段定理与三角形一边的平行线的性质和判定.难点：平行线分线段成比例定理及推论的应用.中考要求能灵活运用平行线粉线段成比例定理及推理证明线段成比例，线段相等等问题。并会利用三角形一边平行线判定定理证明两直线平行命题趋势分析利用平行线分线段成比例定理及相关推论，进行证明和计算是考试热点，在中考中常以填空题、选择题、计算题、证明题和作图题出现，解题时要结合比例性质.相关知识点回顾1．平行线等分线段定理2．比例线段及其性质定理新知识归纳1．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两

2、条直线，所得的对应线段成比例，对应线段是指一条直线被两条平行线截得的线段与另一条直线被这两条平行线截得的线段对应．2．平行线分线段成比例定理的推论(三角形一边平行线的性质定理)：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．3．平行线分线段成比例定理推论的逆命题(三角形一边平行线的判定定理)：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．4．相似三角形预备定理：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边

3、对应成比例。典型例题例1已知：如图5-19，AD为△ABC的角平分线，求证：AB∶AC=BD∶DC．分析一如图5-19（a），由求证及平行线分线段成比例定理的启发，如果通过C作AD的平行线交BA的延长线于点E，则AB∶AE=BD∶DC，因此只要证明了AE=AC，问题就解决了．证法一如图5-19（a），通过C作AD的平行线交BA的延长线于点E，则AB∶AE=BD∶DC．但∠ACE=∠CAD，∠E=∠BAD，而∠CAD=∠BAD，所以∠ACE=∠E从而AE=AC．代入上式便得AB∶AC=BD∶DC．与分析一相仿，又得以下的证

4、法二．证法二如图5-19（b），通过D作AC的平行线交AB于点F．以下请读者自己完成．分析二如图5-19（c），由于△ABD和△ACD的边BD，CD在同一直线上，从而这两个三角形的边BD，CD上的高相等．这就有S△ABD∶S△ACD=BD∶CD．如果再证明了S△ABD∶S△ACD=AB∶AC，问题就解决了．从D向AB，AC上分别引垂线段DH，DK，则又有DH=DK）．证法三从略．点评例1这个命题叫做“三角形内角平分线性质定理”．对于三角形的外角也有类似性质：设△ABC顶点A处外角的平分线交BC的延长线于点D′，则AB∶A

5、C=BD′∶D′C．这个命题叫做“三角形外角平分线性质定理”．以上两个定理的逆命题也都成立．例2求证：等腰三角形底边上任意一点到两腰距离的和等于一腰上的高．即图5-20中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，PR⊥AB于点R，PQ⊥AC于点Q，BH为腰上的高．求证：PQ+PR=BH．分析一如图5-20（a），要证明PQ+PR=BH，可在BH上取一线段等于PQ，然后证明BH上余下的部分等于PR．证法一如图5-20（a），作PD⊥BH于点D，则由于四边形PQHD为矩形，所以PQ=DH．在直角△PBR和直角△BPD中，PB为公

6、共边，∠PBR=∠BCA=∠BPD，所以△PBR≌△BPD，从而PR=BD．于是PQ+PR=DH+BD=BH．分析二如图5-20（b），要证明PQ+PR=BH，可延长QP到E，使延长部分等于PR，然后证明所得的线段EQ等于BH．证法二请读者自己完成．分析三如图5-20（c），连结线段AP，则AP把△ABC分为两个三角形，而PQ，PR分别是新出现的两个三角形的高，BH是原三角形的高．这三个三角形的底边都是原三角形的腰，而底边与高和三角形的面积密切联系，所以本例可利用三角形的面积证明．证法三如图5-20（c），连结线段AP，

7、则而                                       S△APC+S△APB=S△ABC，因为AB=AC，这就得PQ+PR=BH．分析四如图5-20（d），PQ∥BH，再作出AB上的高CK（=BH），则又出现PR∥CK．有平行线就会有成比例线段，本例可用平行线分线段成比例定理证明．证法四如图5-20（d），作CK⊥AB于点K，则PQ∶BH=PC∶BC，PR∶BH=PR∶CK=PB∶BC，从而                                       PQ+PR=BH．点评要证

8、明线段AB+CD=EF，可在EF上取点G，令EG=AB，然后证明GF=CD；或延长AB到H，令BH=CD，然后证明AH=EF；或延长AB到H，令AH=EF，然后证明BH=CD；如此等等．例3已知：如图5-21，△ABC中，∠A为直角．以AB，AC分别为边向外侧作正方形ABDE，ACFG，线段CD，BF分别与AB，AC