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1、分式的运算 一.通分的方法: 1.分式通分的涵义和分数通分的涵义有类似的地方; (1)把异分母分式化为同分母分式; (2)同时必须使化得的分式和原来的分式分别相等; (3)通分的根据是分式的基本性质,且取各分式分母的最简公分母,否则使运算变得烦琐. 2.求最简公分母是通分的关键,其法则是: (1)取各分母系数的最小公倍数; (2)凡出现的字母(或含字母的式子)为底的幂的因式都要取; (3)相同字母(或含字母的式子)的幂的因式取指数最高的. 这样取出的因式的积,就是最简公分母. 例1.通分: 解:∵8,12,20的最小公
2、倍数为120,字母因式x、y、z的最高次幂分别为x3、y3、z2,所以最简公分母是120x3y3z2. ∴. 通分过程中,如果字母的系数是负数,一般先把负号提到分式的前面. 例2.通分: 解:将分母分解因式: a2-b2=(a+b)(a-b);b-a=-(a-b) ∴最简公分母为(a+b)(a-b)2 ∴[分子,分母同乘以(a-b)] =[分子作整式乘法] ∴[分子,分母同乘以(a+b)] =[分子作整式乘法] ∴[分子,分母同乘以(a+b)(a-b)] =-[分子作整式乘法] 说明:
3、(1)分式的通分必须注意整个分子和整个分母,分母是多项式时,必须先分解因式,分子是多项式时,要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘,而不能只同其中某一项相乘。 (2)通分是和约分相反的一种变换.约分是把分子和分母的所有公因式约去.将分式化为较简单的形式;通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式,使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式。约分是对一个分式而言的;通分则是对两个或两个以上的分式来说的。 二.分式的乘除法: 1.同分数乘除法类似,分式乘除法的法则用式子表示是：，其中a、b、c、d可以代表数也可以代表含有字母的整式.
4、2.分式乘除法的运算.归根到底是乘法的运算,当分子和分母是多项式时,一般应先进行因式分解,再约分。 3.整式和分式进行运算时,可以把整式看成分母为1的分式。 4.做分式乘除混合运算时,要注意运算顺序,乘除法是同级运算,要严格按照由左到右的顺序进行运算.切不可打乱这个运算顺序。 例如:a÷b·=a··=切不可以:a÷b·=a÷1=a 例1、计算：（1） （2）÷(-) 解:(1)法(一)分子、分母分别相乘得一个分式再进行约分: = 法(二)先约分,再相乘 = (2)÷(-) =·（-）=- 说明①分式的除法,只要将除式的分子和
5、分母颠倒位置,就可以转化为乘法来做,并注意符号法则,一般先确定符号,然后演算.②根据乘法法则,应先化成一个分式后再进行约分,如(1)题中的法(一)计算,但在实际演算中,这样的做法就显得繁琐,因此往往在运算过程中,先约分,再相乘,所得的结果是相同的. 如(1)题中的法(二)计算. 例2.计算:÷(x+3)· 解:÷(x+3)· =÷(x+3)·(各分子,分母按x降幂排列) =··（统一为乘法运算） =··（分子，分母因式分解） =-（约分） 说明:①整式(x+3)可以写成分式形式:颠倒除式后为.②上例的右侧说明就是乘除混合运算
6、的步骤。③要注意运算顺序,在同级运算中,如果没有括号,就应按照由左到右的顺序进行计算.④当分式的分子分母是多项式时,应先进行因式分解,分解时,应先把含有同一个字母的多项式按降幂(或升幂)排列好,再进行分解因式,化成最简分式后再进行运算,这样就容易看出相同的因式,便于约分。 三.分式的乘方: 1.分式乘方法则用式子表示是：()n=(n是正整数,b≠0) 2.带有负号的分式乘方,其结果的符号与负数的乘方的规律相同,即负数的偶次方为正,奇次方为负.在演算带有负号的分式乘方时,应先决定结果的符号,再做其它的运算。 3.分式乘除,乘方混合运算时,要先
7、乘方,再化除为乘,最后进行约分并把结果化成最简分式或整式。 例1.计算:(-)2·(-)3÷(-)4 解:(-)2·(-)3÷(-)4 =(分式乘方法则) =(统一为乘法运算) =-(分式乘法及分式变号法则) =-a5(约分) 说明:上例的右侧说明就是乘方,乘除混合运算的步骤。 例2.计算:()2·()3÷ 解:()2·()3÷ =÷(分式乘方法则) =·(统一为乘法运算) =·(分子,分母因式分解及分式变号法则) =(约分) =(分子作整式乘法运算) 说明:①运算时特别注意符号,在做
8、题时,先判断符号,如负数的奇次方为负,如(-a)3=-a3,负数的偶次方为正,同号相乘除为正,如，异号相乘除
