第3讲函数表示方法

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1、第3讲函数的表示方法江苏省通州高级中学主要内容一、聚焦重点二、廓清疑点函数定义域的确定.求作函数的图象.三、破解难点利用函数解析式解决实际问题.函数解析式的求法.基础知识函数的三种表示方法:(1)解析法——用等式来表示两个变量之间的函数关系.(2)列表法——用列表来表示两个变量之间的函数关系.(3)图象法——用图象来表示两个变量之间的函数关系.基础知识函数的三种表示方法的优点:函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值；根据解析式便于研究函数的性质．(1)解析法(2)列表法不通过计算就知道自变量取某些值时函数的对应值．(3)图

2、象法直观形象地反映函数的变化.聚焦重点：函数解析式的求法问题研究求函数解析式通常有哪些方法？典型例题1例1分别根据下列条件，求函数f(x)的解析式：思路分析思路2通过整体换元来处理.思路1设法将等式右边配凑为关于的形式.求解过程回顾反思（1）基本策略：配凑、换元.（2）数学思想：整体代换.（3）思维误区：忽视函数的定义域.例1⑵f(x)是一次函数，且f［f(x)］＝9x＋8，求f(x).思路分析分析设出一次函数f(x)的一般形式，代入已知等式，再根据多项式恒等的条件确定有关系数.求解过程解设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则∴f(x)

3、＝3x＋2，或f(x)＝－3x－4.例1⑵f(x)是一次函数，且f［f(x)］＝9x＋8，求f(x).回顾反思（1）基本策略：待定系数法.（2）适用题型：已知函数类型，确定函数解析式.（3）解题关键：根据多项式恒等条件，建立系数满足的等量关系，联立求解.思路分析分析①已知等式中既含有f(x)又含有f(－x),能否设法将f(－x)消去？以－x代x！②能否由已知等式得到关于f(x)和f(－x)的又一个关系？例1⑶已知3f(x)＋2f(－x)＝2x＋5，求f(x).求解过程解由已知3f(x)＋2f(－x)＝2x＋5①以－x代x，得3f(－

4、x)＋2f(x)＝－2x＋5②①×3－②×2，解得f(x)＝2x＋1.例1⑶已知3f(x)＋2f(－x)＝2x＋5，求f(x).回顾反思（1）基本策略：解方程组，实施消元.（2）数学思想：函数与方程思想.（3）思维障碍：无法找到另一个方程，思维受阻.例1⑷已知f(0)＝1，且对任意x，y∈R，有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，求f(x).思路分析思路1令y=0，得到f(x)＝f(x).此路不通！思路2令x=0，得到f(－y)＝f(0)－y(－y＋1)＝y2－y＋1，则f(y)＝y2＋y＋1，即f(x)＝x2＋x＋1.方法

5、可行！思路3令y=x，得到f(0)＝f(x)－x(2x－x＋1)则f(x)＝x2＋x＋1.更加简洁！赋值法！回顾反思基本方法：配凑法，换元法，方程法，赋值法，待定系数法.数学思想：整体换元思想，函数与方程思想.思维盲点：忽视由中间变量的取值范围确定函数的定义域.思维策略：根据问题特点，灵活选择方法.求函数解析式方法小结：廓清疑点：函数定义域的确定典型例题2思路分析方法可行，运算繁琐！思路2等式右边配方，实施整体代换.整体处理，更加快速！求解过程思考1解题是否就此结束？定义域！思考2函数定义域是｛x∈R︱x≠0｝，对吗？错！求解过程回

6、顾反思2.在本例中，求函数的定义域，实质就是确定中间变量的值域，“判别式法”是求函数值域的重要方法之一.3.要准确理解不同表达式中同一字母的不同含义，防止应理解错误而误求定义域.定义域和对应法则是函数的两个本质要素，对应法则相同而定义域不同，函数关系也不同，因此，求函数的解析式，必须确定其定义域.廓清疑点：求作函数的图象基础知识1.函数图象是函数关系的直观表示.函数y=f(x)图象就是点集｛(x，y)︱y=f(x)，x∈A｝所对应的几何图形.2.作函数图象通常有以下两种方法:⑴描点法：列表——描点——连线.⑵变换法：利用已知函数（如

7、：一次函数、二次函数、反比例函数等）的图象，通过平移、对称、伸缩等变换手段，得到所作函数的图象.基础知识3.有些函数，在定义域的不同部分上，有着不同的解析表达式.有些函数，虽在定义域上具有统一的解析表达式，但函数关系隐晦，为便于理解，常通过分类讨论转化为几个不同的部分来表示.象这样的函数通常叫做分段函数.需要注意的是，分段函数是一个函数，而不是几个函数.问题研究如何求作函数的图象？又应注意哪些问题呢？典型例题3例3作出下列函数的图象：思路分析例3作出下列函数的图象：思路1通过取一些特殊点，采用描点法.关注定义域！思路2化为熟悉的函数

8、，再作出图象.化简函数式！O11－1yx求解过程例3画出下列函数的图象：回顾反思（1）求解步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③作出函数的图象.（2）思维误区：①不会化简，无从下手；②范围有误，图象失真；③忽视细节，作图粗糙