全等三角形培优竞赛讲义(全集)

《全等三角形培优竞赛讲义(全集)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、专业技术资料分享全等三角形培优竞赛讲义（一）知识点全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．(3)有公共边的，公共边常是对应边．(4)有公共角的，公共角常是对应角．(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个

2、三角形全等，找出对应的元素是关键．全等三角形的判定方法：(1)边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(2)角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．(3)边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．(4)角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．(5)斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间

3、的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．例题精讲板块一、截长补短【例1】(年北京中考题)已知中，，、分别平分和，、交于点，试判断、、的数量关系，并加以证明．　　【解析】，理由是：在上截取，连结，利用证得≌，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，利用证得≌，∴，∴．WORD文档下载可编辑专业技术资料分享【例1】如图，点为正三角形的边所在直线上的任意一点(点除外)，作，射线与外角的平分线交于点，与有怎样的数量关系?【解析】猜测.过点作交于点，，∴又∵，∴，而，∴，∴．【变式拓展训练】如图，点为正方形的边上任意一点，且与外角的平分线交

4、于点，与有怎样的数量关系？【解析】猜测.在上截取，∴，∴∴，∴，∴，∴．【例2】已知：如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE.求证：BE+DF=AE.【解析】延长CB至M，使得BM=DF，连接AM.∵AB=AD，AD⊥CD，AB⊥BM，BM=DF∴△ABM≌△ADF∴∠AFD=∠AMB，∠DAF=∠BAM∵AB∥CD∴∠AFD=∠BAF=∠EAF+∠BAE=∠BAE+∠BAM=∠EAM∴∠AMB=∠EAM∴AE=EM=BE+BM=BE+DF.WORD文档下载可编辑专业技术资料分享【例1】以的、为边向三角形外作等边、，连结、相交于点．求证：平分．【解析】因为、是等边三角

5、形，所以，，，则，所以，则有，，．在上截取，连结，容易证得，．进而由．得；由可得，即平分．【例2】(北京市、天津市数学竞赛试题)如图所示，是边长为的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以为顶点作一个的，点、分别在、上，求的周长．【解析】如图所示，延长到使.在与中，因为，，，所以，故.因为，，所以.又因为，所以.在与中，，，，所以，则，所以的周长为.【例3】五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求证：AD平分∠CDEWORD文档下载可编辑专业技术资料分享【解析】延长DE至F，使得EF=BC，连接AC.∵∠ABC+∠AED=180°，∠A

6、EF+∠AED=180°∴∠ABC=∠AEF∵AB=AE，BC=EF∴△ABC≌△AEF∴EF=BC，AC=AF∵BC+DE=CD∴CD=DE+EF=DF∴△ADC≌△ADF∴∠ADC=∠ADF即AD平分∠CDE.板块二、全等与角度【例7】如图，在中，，是的平分线，且，求的度数.【解析】如图所示，延长至使，连接、.由知，而，则为等边三角形.注意到，，，故.从而有，，故.所以，.【另解】在上取点，使得，则由题意可知.在和中，，，，则，从而，进而有，，.注意到，则：，故.【点评】由已知条件可以想到将折线“拉直”成，利用角平分线可以构造全等三角形.同样地，将拆分成两段，之后再利

7、用三角形全等亦可，此思路也是十分自然的.需要说明的是，无论采取哪种方法，都体现出关于角平分线“对称”的思想.上述方法我们分别称之为“补短法”和“截长法”，它们是证明等量关系时优先考虑的方法.【例8】在等腰中，，顶角，在边上取点，使，求.WORD文档下载可编辑专业技术资料分享【解析】以为边向外作正，连接.在和中，，，，则.由此可得，所以是等腰三角形.由于，则，从而，，则.【另解1】以为边在外作等边三角形，连接.在和中，，，，因此，从而，.在和中，，，，故，从而，，故，因此.【另解2】如图所示，以为边向内部作等边，连接、.在和中，