全等三角形培优竞赛讲义(三)

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1、全等三角形培优竞赛讲义《三）全等三角形的证明方法【知识点精读】1.几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。2.掌握分析、证明几何问题的常用方法：（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需

2、的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；（3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达,因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。3.掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。【分类解析】1、证明线段相等或角相等两条线段或两个角相等是平面儿何证明中最基本也是

3、最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题來证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。例1・已知：如图1所示，AABC中，ZC=90°,AC=BCfAD=DB,AE=CFo求证：DE=DF分析：由ABC是等腰直角三角形可知，ZA=ZB=45°,由D是AB中点，可考虑连结CD,易得CD=AD,ZDCF=45°。从而不难发现ADCFaDAE证明：连结CD・•AC=BC:.ZA=ZB•/ZACB=90°

4、,AD=DB・・.CD=BD=AD,ZDCB=ZB=ZA•/AE=CF,ZA=ZDCB,AD=CD・・・ADE=CDF・・・DE=DF说明：在直角三角形屮，作斜边上的屮线是常用的辅助线；在等腰三角形屮，作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。显然，在等腰直角三角形中，更应该连结CD,因为CD既是斜边上的中线，又是底边上的中线。本题亦可延长ED到G,使DG=DE,连结BG,证AEFG是等腰直角三角形。有兴趣的同学不妨一试。例2・已知：如图2所示，AB=CD,AD=BC,AE=CF。求证：ZE=ZF证

5、明：连结AC在AABC和ACDA中，••・AB=CD,BC=AD,AC=CA・•・AABC=ACDA(SSS)・•・ZB=ZDvAB=CD,AE=CF・•・BE=DF在ABCE和DAF中，BE=DF•/

6、位置。证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90°,或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证。例3・如图3所示，设BP、CQ是ABC的内角平分线，AH、AK分别为A到BP、CQ的垂线。求证：KH/7BC分析：由已知，BH平分ZABC,又BH丄AH,延长AH交BC于N,贝ijBA=BN,AH=HNo同理，延长AK交BC于M,则CA=CM,AK=KM。从而由三角形的中位线定理,知KH〃BC。证明：延长AH交B

7、C于N,延长AK交BC于MVBH平分ZABC・•・ZABH=ZNBH又BH丄AH•••ZAHB=上NHB=90°BH=BH・・・ABHaNNBH(ASA)・•・BA=BN,AH=HN同理，CA=CM,AK=KM:,KH是MMW的中位线,KH//MN即KH//BC说明：当一个三角形中出现角平分线、中线或高线重合时，则此三角形必为等腰三角形。我们也可以理解成把一个直角三角形沿一条直角边翻折（轴对称）而成一个等腰三角形。例4・已知：如图4所示，AB=AC,ZA=90°,AE=BF,BD=DC°求证：FD±ED证

8、明一：连结ADvAB=AC,BD=DC:.Z1+Z2=90°,ZDAE=ZDABvZBAC=90°,BD=DC:.BD=AD・・・ZDAB=ZDAE在ADE和ABDF中，••・AE=BF,ZB=ZDAE,AD=BD・•・AADE=ABDF・・・Z3=Z1・・・Z3+Z2=90°・•・FD丄ED说明：有等腰三角形条件时，作底边上的高，或作底边上屮线，或作顶角平分线是常用辅助线。证明二：如图5所示，延