张英伯—欧氏几何的公理体系

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1、欧氏几何的公理体系和我国平面几何课本的历史演变在大学数学课程报告论坛上的发言2005.11引子最近一个时期，许多数学家和大学数学教师对中学的课程改革，特别是数学课程的改革非常关心。正如大家经常议论的，目前的中等教育，有很多不尽如人意的地方，比如愈演愈烈的高考竞争引发的应试教育，使我们的中学学生和中学老师不堪重负。这些现象大多属于社会问题，单纯靠学术和教学是解决不了的。中等教育牵动着整个社会，牵动着几乎所有家庭的希望和忧虑。也关系到学生进入大学后进一步的学习，关系到我们的大学，包括师范院校，应当为中学培养什么样的师资。另一方面，我们的许多大学老师，不仅是师范院校的老师

2、，都已经不同程度地介入了中学课本的编写工作，今后可能会更多地参与进去。最近我也参与了一些讨论。在这里仅就几何课本的一些思考向各位专家和老师做一个汇报。（一）几何原本与几何基础我们都知道，两千多年前，古希腊的数学家欧几里得写了一本著名的书《原本》。在古往今来的浩瀚书海中，《原本》用各国文字出版的印数仅次于《圣经》而居世界第二位。我国最早的中译本是在明朝末年由外国传教士利玛窦与我国科学家徐光启翻译的，1607年出版，书名定为《几何原本》。此后，我国出版的各种译本都沿袭这一名称叫做《几何原本》。《几何原本》列出了五条公理与五条公设，并在各章的开头给出了一系列定义，然后根据这

3、些定义，公理和公设推导出了465个数学命题，（按照目前通行的希思英译本《Euclid’sElements》13卷计算,该书的中译本于1990年出版），其系统之严谨，推理之严密，令人叹为观止。《几何原本》的内容涉及初等数学的各个领域，包括代数，数论，平面几何，立体几何，甚至现代极限概念的雏形，但各部分的表述大都是从图形出发的。第一卷讲直线形，包括点、线、面、角的概念，三角形，两条直线的平行与垂直，勾股定理等；第二卷讲代数恒等式，如两项和的平方，黄金分割；第三卷讨论圆、弦、切线等与圆有关的图形；第四卷是圆的内接和外切三角形，正方形，内接正多边形（5，10，15边）的作图；

4、第五卷比例论，取材于欧多克索斯（Eudoxus）的公理法，使之适用于一切可公度和不可公度的量；第六卷将比例论应用平面图形，研究相似形；第七八九卷是初等数论，其中给出了辗转相除法，证明了素数有无穷多；第十卷篇幅最大，占全书的四分之一，主要讨论无理量，可以看作是现代极限概念的雏形；第十一卷讨论空间的直线与平面；第十二卷证明了圆面积的比等于直径的平方比，球体积的比等于直径的立方比，但没有给出比例常数；第十三卷详细研究了五种正多面体。欧几里得《几何原本》中的内容已在现代中等教育中分成了若干部分，分别归入平面几何，代数，三角，立体几何。初中平面几何的内容主要取材于《几何原本》的

5、前六章，大致可以概括为点、线、面、角的概念，三角形，两条直线的位置关系（包括平行，垂直），四边形，圆，相似形，求图形的面积这样几个部分。在全书的开头列出的5个公设和五个公理如下。公理适用于数学的各个领域：等于同量的量彼此相等。等量加等量，其和相等。等量减等量，其差相等。彼此能重合的物体是全等的。整体大于部分。公设适用于几何部分：由任意一点到任意（另）一点可作直线。一条有限直线可以继续延长。以任意点为心及任意距离可以画圆。凡直角都相等。同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于而直角，则这二直线经无限延长后在这一侧相交。当然，按照现代数学的公理化体

6、系去衡量，《几何原本》的公理体系不是很完备，比如对点、线、面等原始概念的定义不甚清晰，关联，顺序，运动，连续性等方面的公理还有待补充，个别公理欠独立性。一些命题的证明基于公理4的几何直观，即：彼此能重合的物体是全等的。也就是说，一个平面图形可以不改变形状和大小从一个位置移动到另一个位置。这实际上是不加定义默认了平面的刚体运动。后者在现代数学中的严格定义是平面到自身的保持距离不变的一个映射。1899年数学泰斗希尔伯特Hilbert出版了他的著作《几何基础》，并于30多年间不断地修正和精炼，于1930年出了第七版。《几何基础》一书为欧几里得几何补充了完整的公理体系，给出了

7、点、线、面、关联、顺序、合同这些原始概念的的准确定义。《几何基础》将公理体系分为下述五类。第一类叫做关联公理，由两点确定一条直线；一条直线上至少有两个点，至少有三个点不在一条直线上，等8个公理组成。第二类叫做顺序公理，由下述四个公理组成。1.设A,B,C是一条直线上的三点，如果B在A,C之间，则B也在C,A之间。2.已知A,B是直线上两点，则直线上至少有一点C,使得B在A,C之间。3.一条直线的三点中，至少有一点在其它两点之间。4.若直线a不经过三角形ABC的顶点，且与线段AB相交，则a与AC或BC相交。由此可以证明（见《几何基础》第一章第4节定理8