欧氏几何的公理化方法A.ppt

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1、第三章欧氏几何与公理化方法欧氏几何的公理化方法一、公理化思想方法的内涵与价值二、直观公理化时期——《几何原本》三、思辨性的公理化时期——非欧几何四、形式主义的公理化时期——希尔伯特的《几何基础》五、结构主义的公理化时期——布尔巴基的《数学原本》六、张景中公理几何体系五、中学数学教材中的公理系统一、公理化思想方法的内涵与价值什么是“公理”？公理：在一个系统中已为反复的实践所证实而被认为不需要证明的真理，是可以作为证明中的理论依据。什么是“公理化方法”？公理化方法：从某些基本概念和基本命题出发，依据特定的演绎规则，推导是系列定理，从而构成一个演绎系统的方法。公理的自明性公理化体系所依赖的

2、“演绎推理”规则公理化方法的目标：形成一个演绎的科学体系公理的选取必须符合：相容性独立性完备性公理化思想方法的作用(1)这种方法具有分析、总结数学知识的作用。(2)公理化方法有利于比较各门数学的实质性异同。(3)数学公理化方法在科学方法上有示范作用。(4)公理化方法所显示的形式的简洁性、条理性和结构和谐性确实符合数学美的要求。公理化方法的发展经历了以下几个时期1、直观公理化时期2、思辨性的公理化时期3、形式主义的公理化时期4、结构主义的公理化时期二、直观公理化时期——几何原本《几何原本》公元前3世纪，1607年前6卷译成中文“此书有四不必：不必疑，不必揣，不必试，不必改。有四不得：欲

3、脱之不可得，欲驳之不可得，欲减之不可得，欲前后更之不可得。有三至三能：似至晦实至明，故能以其明明他人之至晦；似至繁实至简，故能以其简简他人之繁；似至难实至易，故能以其易易他人之难。易生于简，简生于明，综其妙在明而已”——徐光启《几何原本》的主要内容共13卷第一卷：提出23个定义、5条公设、5条公理、48个命题第一卷从定义、公设、公理开始，接着用48个命题讨论了关于直线和由直线构成的平面图形。1）点是无大小的；2）线是有长度而无宽度的；3）线的界线是点；4）直线是这样的线，它对于它的任何点来说都是同样放置着的；5）面只有长度和宽度；6）面的界线是线；7）平面是这样的面，它上面的直线是同

4、样地放置着的；8）平面上的角是平面上两相交直线的倾斜度；……公设Ⅰ.从任意点到另一点可以作直线Ⅱ.一条直线可以无限延长Ⅲ.以任意点为中心，任意长为半径可以作圆周IV.凡直角都相等V.平面上两直线被一直线所截，若截线一侧的两内角之和小于两直角，则此两直线必相交于截线的这一侧。公理Ⅰ.等于同一量的量彼此相等；Ⅱ.等量加等量，其和仍相等；Ⅲ.等量减等量，其差仍相等；IV.互相合同的就是相等的；V.全量大于部分。欧几里得证明方法思路清晰，整个证明建立在严密的公理化基础上，使几何学成为了真正的科学《几何原本》中的命题有两种类型一种是根据假设、公设、公理和定义利用逻辑推理得出结论另一类是作图题，

5、由已知的对象找出或作出所求对象。第二卷：14个命题包含论线段计算、黄金分割、勾股定理等。第三卷：37个命题包含圆心角、圆周角、切线、割线的理论及圆幂定理等。命题16在圆的直径的端点所作直径的垂线必在圆外，不能有其它的直线插在这垂线与圆之间，而且半圆的角大于锐角，其余的角小于任意锐角。第四卷：16个命题包含圆的内接和外多边形的性质及正5、6边形的作图等。第五卷：25个命题内容为欧道克斯的比例论欧道克斯的比例论18个定义。如定义1）小的量能量尽大的量时，小的量为大的量的部分。2）大的量能被小的量尽时，大的量为小的量的倍数。3）比是两个同类量的大小之间的一种关系。4）可比的两个量，如果一个

6、量的倍数大于另一个量，那么说，这两个量彼此之间构成了比。5）四个量形成第一个量与第二个量之比以及第三个量与第四个量之比，我们说这两个比是相同的：如果取第一、第三两个量的任何相同的倍数，取第二、第四两个量的任何相同的倍数后，从头两个量的倍数之间大于、等于、或小于可以推出后两个量的倍数之间的相应关系。第七～九卷：数论初步第十卷：讨论不可公度量的分类，包括与整数的开方有关的几何运算。第十一～十三卷：立体几何，分别由40、18、19个命题组成。包含直线与平面的位置关系、多面角、棱柱体、相似体积之比及正多面体等三、思辨性的公理化时期——非欧几何《原本》的成就：集古代数学之大成，论证严密，影响深

7、远，是2000千年来公认的第一部科学巨著。其中作了公理法基础上逻辑建立几何学的尝试。《原本》的不足：《原本》的逻辑体系是不严密、不完备的1、缺少连续公理2、缺少合同公理3、缺少顺序公理《原本》对一些基本元素（原始概念），如点、线、面等进行定义，这是不可能的。《原本》中的公理体系作为几何学的逻辑推理基础是不够严密的，应该怎样修改、补充分理、定义才能使几何学成为逻辑上完美无缺的科学？两方面的研究一方面增加或改换公理另一方面是试证第五公设第V公设的试证萨开里四边