希尔伯特公理体系

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1、《初等几何研究》内江师范学院数学与信息科学学院主讲教师：王亚雄TEL：13458870691EM：85072886@qq.com§1.2希尔伯特公理体系在历代数学家所积累的极其丰富的公理资料基础上，德国数学家希尔伯特(Hilbert，公元1862~1943)完成了几何学的基础构造工作．他于1899年出版名著《几何基础》，建立了几何学完善的公理体系——“希尔伯特公理体系”希尔伯特的公理体系建立在基本概念和公理的基础上，基本概念由两部分组成：一部分是几何学研究对象(也称基本元素),如点、线、面等；另一部分是元素间的基本关系，如结合关系、合同关系等．公理共有5组20条

2、．希尔伯特公理体系满足他自己提出的三个基本要求，即相容性（公理间互不矛盾）、独立性（每条公理都不能从其余的公理推出）、完备性（公理体系所有模型都是互相同构的）．基本元素：点，线，面。基本关系：结合关系（如点在直线上，直线在面上等），顺序关系（如一点在两点之间，一射线在两射线之间等），合同关系（如两线段合同，两角合同等）基本公理：Ⅰ、结合公理8条几何基本元素“点”、“直线”、“平面”之间的结合关系就是：“点在直线上”可以说成“直线通过点或直线含有点或点属于直线”；点和平面也有这种关系，结合公理要求满足8条公理：（1）通过不同两点必有一条直线．（2）通过不同两点的直

3、线至多有一条．（3）每一条直线上至少有两点；至少有三点不在同一条直线上．（4）通过不共线的三点必有一个平面；每一个平面上至少有一点．（5）至多有一个平面通过不共线的三点．（6）若一直线有不同两点在某个平面上，则该直线上所有点都在这平面上．（7）若两个平面有一个公共点，则至少还有一个公共点．（8）至少有四个点不同在一个平面上．Ⅱ、顺序公理4条直线上的点与点之间有一种“介于”关系，通常用“介于……之间”的语言来表示．“介于”关系表示点与点之间的“顺序关系”，它们必须满足4条顺序公理．（1）若点B介于两点A、C之间，则A、B、C是同一直线上的三个不同点，并且B也介于C

4、和A之间．（2）对于任意不同的两点A和B，直线AB上至少有一点C存在，使得B介于A和C之间．（3）在共直线的不同三点中，至多有一点介于其余两点之间．（4）巴士公理．设A、B、C是不在同一直线上的三个点，a是平面ABC上的一条直线，它不通过A、B、C中的任一点．若a有一点介于A和B之间，则a必须还有一点介于B和C之间或A和C之间．Ⅲ、合同公理5条根据“介于……之间”的关系和顺序公理，可以定义“线段”、“射线”、“角”等概念，线段与线段之间具有一种关系，这种关系用词语“合同”或“相等”来表示．合同关系必须满足5条公理：（1）若A、B是直线a上两点，是该直线或另一直线

5、上一点，则在直线上点的任意任意指定的一侧，总存在一个而且只有一个点，使得线段合同于（或等于）线段．（2）若线段合同于，合同于，则合同于．即若,,则．（3）若点介于和之间，介于和之间，且，,则．（4）设平面上给定由点发出的射线、所成的角，在平面上给定直线并指定其一侧，设是上从点发出的射线，则上指定的一侧存在由发出的唯一射线,使得，又．（5）设、、是不在同一直线上的三点，、、也不在同一直线上．若直线，，且，则,．Ⅳ、连续公理2条（1）阿基米德公理．设和是任意两条线段，，则在直线上必定存在着有限个点使得介于和之间，介于和之间，……，线段之间有合同关系，并且使得点介于点

6、和之间．亦即存在自然数，使得．（2）康托尔公理．设在任意直线上给了线段的无穷序列，其中每一个后面的线段连同端点完全落在前一个线段的内部，并设对于任何预先给定的无论多么短的线段，总可以找到一个自然数，使得．则在直线上存在着一点，落在所有线段的内部．Ⅴ、平行公理1条同一平面上没有公共点的两条直线叫做平行线，或称该两条直线互相平行．平行公理：设是任意一条直线，是外的任意一点，那么在和所决定的平面上，至多只有一条直线通过且与平行．这条公里是英国数学家普雷菲尔(Playfair)首先用来代替欧几里得第5公设的，因而又称普雷菲尔公理，它与欧几里得第5公设等价，但形式上较为简

7、单．前四组公理Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ及其推论组成的几何学称为绝对几何学，由绝对几何学加上欧氏平行公理展开的几何学称为欧氏几何学，由绝对几何学加上罗巴切夫斯基平行公理展开的几何学称为罗氏几何学。希尔伯特公理体系分类图作业：1.简述《几何基础》在数学发展史中的作用及意义。2.写出希尔伯特公理体系的分类图。