欧氏几何的公理体系和我国平面

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1、欧氏几何的公理体系和我国平面几何课本的历史演变张英伯(北京师范大学数学科学学院100875)1、几何原本与几何基础我们都知道，两千多年前，古希腊的数学家欧几里得写了一本一著名的书一一《原本》。在古往今来的浩瀚书海中，《原本》用各国文字出版的印数仅次于《圣经》而居世界第一位。我国最早的中译本是在明朝末年由外国传教士利玛窦与我国科学家徐光启翻译的，1607年出版，书名定为《几何原本》。此后，我国出版的各种译本都沿袭这一名称。《几何原本》列出了五条公理与五条公设，并在各章的开头给出了一系列定义，然后根据这些定义，

2、公理和公设推导出了465个数学命题，（按照日前通行的希思英译本《Euclid'sElexnents》13卷计算，该书的中译本于1990年出版），其系统之严谨，推理之严密，令人叹为观止。《几何原本》的内容涉及初等数学的各个领域，包括代数，数论，平面几何，命_体几何，甚至现代极限概念的雏形，但各部分的表述大都是从图形出发的。第一卷讲直线形，包括点、线、面、角的概念，三角形，两条直线的平行与垂直，勾股定理等；第二卷讲代数恒等式，如两项和的平方，黄金分割；第三卷讨论圆、弦、切线等与圆有关的图形；第四卷的内容是圆的内

3、接和外切三角形，正方形，内接正多边形（5、10、15边）的作图；第五卷是比例论，取材于欧多克索斯（Eudoxus）的公理法，使之适用于一切可公度和不可公度的量；第六卷将比例论应用于平面图形，研究相似形；第八、九卷是初等数论，其中给出了辗转相除法，证明了素数有无穷多；第十卷篇幅最大，占全书的四分之一，主要讨论无理量，可以看作是现代极限概念的雏形；第十一卷讨论空间的直线与平面；第十二卷证明了圆面积的比等于直径的平方比，球体积的比等于直径的立方比，但没有给出比例常数；第十三卷详细研究了五种正多面体。欧几里得《几何

4、原本》中的内容己在现代中等教育中分成了若干部分，分别归入平面几何，代数，三角，立体几何。初中平面几何的内容主要取材于《几何原本》的前六章，大致可以概括为点、线、面角的概念，三角形，两条直线的位置关系（包括平行，垂直），四边形，圆，相似形，求图形的面积这样几个部分。在全书的开头列出的五个公理和五个公设如下。公理适用于数学的各个领域；（1）等于同量的量彼此相等。(2)等量加等量，其和相等。（3）等量减等量，其差相等。(4)彼此能重合的物体是全等的。(5)整体大于部分。公设适用于几何部分；（1）由任意一点到任意（

5、另）一点可作直线。(2)一条有限直线可以继续延比（3）以任意点为（圆）心及任意距离（为半径）可以画圆。(4)凡直角都相等。(5)同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于一直角，则这两直线经无限延长后在这一侧相交。当然，按照现代数学的公理化体系去衡量，《几何原本》的公理体系不是很完备，比如对点、线、面等原始概念的定义不甚清晰；关联，顺序，运动，连续性等方面的公理还有待补充；个别公理欠独立性一些命题的证明基于公理4的几何直观，即；彼此能重合的物体是全等的。也就是说，一个平面图形可以不改变

6、形状和大小从一个位置移动到另一个位置。这实际上是不加定义默认了平面的刚体运动。后者在现代数学中的严格定义是平面到自身的保持距离不变的一个映射。1899年数学泰斗希尔伯特(Hfilbert)出版了他的著作《几何基础》，并于30多年间不断地修订和精炼，于1930年出了第七版。《几何基础》一书给出了点、线、面、关联、顺序、合同这些原始概念的准确定义，为欧几里得几何补充了完整的公理体系。我国数学界的前辈，将西方数学基础的研究引入中国的先驱，几何学与数理逻辑学家，原北京师范大学数学系主任傅种孙教授于1924年与韩桂丛

7、合作，将《几何基础》第一版的英译本译成中文，取名《几何原理》。傅种孙教授不但是一位严谨的数学家，也是我国历史上功不可没的数学教育家，他一生致力于数学基础在我国的启蒙与普及。在他的主持和影响下，北京师范大学数学系多年来坚持高标准，严要求，为中学输送了大批优秀的数学教师。傅先生曾亲自编写了平面几何教科书，于二，三十年代在北京师大附中讲授，使听他讲课的学生受益匪浅。其中钱学森，段学复，闵嗣鹤，熊全淹等人在新中国成立后成为数学界，物理学界的栋梁。1958年江泽涵教授的中译本《几何基础》是根据第七版的俄译本和1956

8、年第八版的一些补充译成的。文革后，征得了江泽涵教授的同意，朱鼎勋教授根据德文第十二版，对1956年的中译本进行增补，修订，于1987年出了《几何基础》中译本第二版。下述引文均出自该版。《几何基础》将公理体系分为下述五类。第一类叫做关联公理，由两点确定一条直线；一条直线上至少有两个点，至少有三个点不在一条直线上，等8个公理组成。第二类叫做顺序公理，由下述四个公理组成。（1）若一点B在一点A和一点C之间，则A,B和C