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时间:2018-10-20
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1、数学建模牧羊人的希望10春数学与应用数学钟孟换10问题:一个牧羊人拥有xm2的牧场,他满怀憧憬地做今后几年的计划,希望能获得满意的收获,他要考虑以下问题:一、他应该饲养多少只羊?二、夏季应存储多少干草用作冬季饲料?三、为了繁殖,每年应该保留多大比例的母羊?表一某一类草(多年生黑麦草)的平均生长率季节冬季春季夏季秋季日生长率()0374母羊的生育期是5至8年,每年产一头、两头或三头。假定每只母羊仅喂养5年就出售。表二一只母羊在每个年龄段生产的平均羊羔数年龄(年)0—11—22—33—44—5产羊羔(头)01.82.42.01.8表三每头羊日平均
2、所需饲料日需草量()羔羊母羊冬季02.10春季1.002.40夏季1.651.15秋季01.35问题分析在草原上牧民的主要经济来源是畜牧,然而随着人口的增加和资源的紧缺牧民养羊受着各种因素的制约,如何在各种制约的条件下,利用现有的资源使得牧民的效益最大,科学放牧,实现羊群的可持续发展是一个很现实的问题。建立模型的目的是使牧民的经济效益最大,即能够给牧民提供最优的决策,这就相当于使得草场的容量达到最大,并且不破坏生态的平衡,在保持羊群数量不变的情况下最大程度的利用现有草场面积所能提供的草料,实现资源的最大利用率10。建立线性规划模型,目标函数为
3、草场所能承受的羊数量的最大值,约束条件为四个季节的羊的吃草量小于等于草的生长量。利用Lingo软件求得最优解,得到母羊和羊羔的大致数量,即得到草场所能承受的羊数量。计算出冬季的羊的吃草量即为夏季应储存的苜蓿草数量。根据母羊在每个年龄段生产羊羔数不同,将草场所能承受的母羊数细致划分,得到各年龄段之间的数量比例。问题假设1、饲养过程中没有羊的意外死亡。2、母羊产小公羊和小母羊的比例是1:1。3、只考虑羊的数量,而不管他们的重量。4、母羊都在春季产小羊。5、春季的时候卖掉一部分羊,保持羊群数量不变。6、草场的草的长势都一样,无差别,且每天长出来的嫩
4、草羊都能吃,不影响草的增长率。7、假设每一个季节都为90天。8、羊羔至少饲养一年再出售。9、能生育的母羊在交配季节一律引进公羊进行交配,且交配之后送走公羊且公羊吃的草忽略不计。符号说明饲养的母羊数母羊每年所产羊羔数1-2年的母羊数2-3年的母羊数3-4年的母羊数4-5年的母羊数模型的建立与求解5.1模型一:因为草场面积是定值10平方米,要求应饲养多少羊,即在当前资源下可供养的羊数,因此考虑在保持羊群数量不变的情况下最大程度的利用现有草场面积所能提供的草料,实现资源的最大利用率,建立了线性规划的模型使得草料的利用率达到最大,目标函数为在草场面积
5、一定的条件下,草场所能容纳的最多羊数,最后运用Lingo编程求解。假设每年卖出的羊包括小羊和成年羊数目的最多,效益越好。5.11目标函数的确立:资源量已经确定,所以在该资源条件下求羊的最大头数,即是目标函数。只考虑母羊数量和母羊每年所产羊羔数量:目标函数为:(1.1)5.12约束条件的确定:根据模型假设得出:若第年春天的母羊数为;这一年所产的羊羔数目为:;平方米的草地上,某一类草的生长率单位为,换算成,即得:某一类草的春季、夏季、秋季、冬季的日生长量分别为:0.3、0.7、0.4、0;根据羊春夏秋冬的日需草量不同,要保证草的生长量要满足要求,
6、因此有:春季羊食草量与草生长量关系:(1.2)秋天羊食草量与草生长量关系:(1.3)因为夏季还要为冬季储备草,所以夏季日生草量要分成两部分,一部分为羊夏季食用,一部分为羊冬季食用,所以夏季和冬季羊日食草量与夏季草的日生长量的关系为:(1.4)根据表二,一头母羊在每个年龄段生产的平均羊羔数,若不考虑母羊年龄可以得出一头母羊每年所产羊羔平均数为则每年羊羔数(1.5)由此建立了线性规划模型:目标函数为:约束条件:羊食草量草生长量10(1.6)由于草场面积未定,所以假设有草场1000平方米,即将(1.6)时中的换成1000,于是用软件编辑(程序见附录
7、一)求出在草场面积为1000平方米时应饲养的母羊数和可能产的羊羔数:当草场面积是1000平方米时,每年春季要保留的母羊数应为68头,这些母羊生产的羊羔数约为136头(因为是引进外来公羊交配,所以可以大体控制羊羔出生量),夏季应储存的干某一类草量为:。此时,我们可以反过来计算羊的食草量,以验证上述模型结论的合理性。这块牧场一年年之内可以生长的草的重量为:。而羊群每季食草量如下:季节春天夏天秋天冬天食草量(千克)总计:剩余的食草量为:从题中给出的数据我们知道,春季草的生长率是最低的,但食草量却是最高的,羊的最大饲养量受春季的影响最大,而夏季和秋季
8、的草生长率相对较高,羊的食草量也不大,因此造成了草的剩余,为了最大程度的利用资源,提高经济效益,我们把剩下的草用来圈养公羊,设公羊每天的吃草量比母羊多一千克,则可圈
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