小船过河&牧羊人的希望.doc

《小船过河&牧羊人的希望.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、1、一只小船渡过宽为d的河流，目标是起点A正对着的另一岸B点。已知河水流速v1与船在静水中的速度v2之比为k。（1）建立小船航线的方程，求其解析解。（2）设d=100m，v1=1m/s，v2=2m/s，用数值解法求渡河所需时间、任时刻小船的位置及航行曲线，作图，并与解析解比较。一、问题重述建立数学模型的任务：求出船速（在静水中）、水速及河宽一定的条件下船渡江的轨迹；确定船速、流速、河宽已知条件下任意时刻船的位置及渡河所需总时间。二．问题分析该问题模型为典型的微分方程模型。问题中船在静水中的速度及流水速度是不变的，且有简单的

2、比例关系，易于得出船的诡计解析方程。同时船的行驶路线的起点和终点已经确定，这为微分方程求数值解提供了初值条件。三．模型假设1．船行驶路线为连续曲线，终点为起点A对面的点B。2．船在行驶过程中始终向着B点前进，即船速V2始终指向B；并且过程中船的合速度V始终与船的行驶轨迹相切。3．该段河流为理想的直段，水速V1与和岸平行，河宽为d.。四、模型建立过程中将用到的各物理量：水速V1，船速V2，船的合速度为V，河宽d，船的横坐标X，纵坐标Y，船行驶时间T，V2与X轴正向夹角w，系数K=V1：V2.。以船的起点B点为坐标原点，水速V

3、1的方向为X轴正方向，以B——>A的方向为Y轴正方向，建立直角坐标系。设船的轨迹方程为Y=F（X）根据模型得出船速V2的方向在任意位置与X轴夹角W满足：Tan（W）=-Y/X速度方向与X轴夹角的正切值为：V2*Sin（W）/[V1+V2*Cos（W）]又由假设“过程中船的合速度V始终与船的行驶轨迹相切”得Y’（X）=V2*Sin（W）/[V1+V2*COS（W）]结合上面两个式子，利用matlab软件即可求出（1）中要求的船的运行轨迹的解析方程。在得出了船的轨迹方程的基础上，利用微分关系dX/dT=Vx=V1+V2*COS

4、(W)dY/dT=Vy=-V2*Sin（W）再次利用matlab软件编程即可求出（2）中要求的船的时间，以及船在任意时刻的位置及航行曲线。五．模型求解利用matlab软件求解方程（1）、在命令窗口中输入：y=dsolve(‘DY=v2*Y/(v1*sqrt(X^2+Y^2)-v2*X)’,’X’)即得小船运行的轨迹的解析方程为：x=(100-y)*sqrt(y)/20;利用matlab软件作图：程序如下：y=100:-0.1:0;>>x=(100-y).*sqrt(y)/20;>>plot(x,y)图形如下：>>（2）、编

5、辑M文件如下：functiondx=chuan(t,x)v1=1;v2=2;dx=zeros(2,1);dx(1)=v1-v2*x(1)/(sqrt(x(1)^2+x(2)^2));dx(2)=-v2*x(2)/(sqrt(x(1)^2+x(2)^2));在命令窗口输入如下命令：[t,x]=ode45('chuan',[066.5],[0100])；plot(x(:,1),x(:,2))；经过调整确定t取66.5时，船能到达B点。得图像如下：将两幅图绘于同一坐标系中：明显吻合，故数值解法得出的结论也可信。2、牧羊人的希望一

6、个牧羊人拥有x平方米的牧场，牧场中长着多年生的黑麦草，他期望今后几年通过养羊获得满意的收益。请你建立数学模型帮助他解决以下问题：（1）、他应该饲养多少只羊？（2）、夏季应储存多少干草用作冬季的饲料？（3）、为了繁殖，每年保留多大比例的母羊？黑麦草的平均生长率冬季春季夏季秋季日生长率（%）0374一般母羊的生育期是5～8年，每年产一头、两头或三头。如果每只母羊仅喂养5年就出售，一只母羊在每个年龄段生产的平均羊羔数年龄（年）0～11～22～33～44～5生产的羊羔（头）01.82.42.01.8每头羊日平均所需饲料（单位：kg

7、）羔羊母羊冬季02.10春季1.002.40夏季1.651.15秋季01.35一、问题分析为了使得牧羊人n年的获利最大，就应该让牧羊人每年的获利达到最大。合理配置所拥有的资源，可以提高牧场的产量，增加经济效率；保持整个羊群年龄结构的稳定，则可以保持整个羊群数目的稳定。着手建立模型，求解稳定状态时母羊、羊羔数目及比例和夏季的储草状况。二、基本假设1、仅考虑养殖所需的黑麦草供给条件，配合饲料，给水，饲养费用等因素均不予考虑、2、经查资料得知，相邻的两株黑麦草种植间距为15~25cm之间，取20计算，知每平方米可种植36株黑麦草

8、，假设每株黑麦草重0.1kg。3、除冬季外均进行野外放牧，而冬季食用其他季节存储的干草Qkg,当春天干草不够时，可以使用上一年剩余的干草。4、鲜草与干草具有同样的喂养效果，经资料查知：鲜草向干草的转化率为45%。5、母羊仅在春天繁殖且一年繁殖一次。6、羊的售出仅在春季繁殖过后进行。7、假设稳定状态下，羊