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1、1.1控制方程在经典的线弹性理论当屮，线弹性均匀介质的运动方程为dx;i=1,2,3)(1-1)其-中，应力张ftqjn应变张满足Hooke定律，即满足本构方程:Wvd-2)应变张量可通过位移矢量％确定，从而给出几何方程：1z、£ki=~(uu+w/.a)(k，l=l，2,3)(1-3)各向同性线弹性材料的弹性特征可以用下列材料常数进行描述:弹性模量E，剪切模量//、泊松比V、体积模量K和Lame常数A等。这些常数中任意两个独立，而其它儿个常数能够用它们间接进行表示。在各向异性的情形下，则需要采用21个相互独立的弹性常数C^
2、，进行表示。介质表面S上的边界条件为w,(x，f)=R(x，Z)，xe(1-4)(%，t)n.=p^x,Sa(1-5)由方程(2-l)-(2-3)这三个线弹性动力学的控制方程所描述的线弹性动力问题的初始条件为«,(x,Z0)=w0/(x),XGV(1-6)w,(x,r0)=v0.(x),xeV(1-7)其中，w,(x),v()/(x),7,0,/)和瓦0，/)是已知3;。由弹性动力学问题解的唯-性定理可知:若弹性体(体积为Y,表面为S)的解能满足方程(1-1)-式(1-7)，则其位移场、应力场和应变场的解答是唯一的。将三个控
3、制方程合并，可以得到用位移表示的运动方程：+Pfi=PuiU.=1，2,3)(1-8)方程(1-8)所示的就是著名的Navie-Cauchy运动方程。而在各向同性线弹性的情形下，则有CijU=++)d-9)因此，各向同性材料的本构关系也为表示为1.2有限元方程现在我们考虑一个任意形状的封闭区域，并将其用一定形式的网格划分为相应的有限单元，各单元的单元矩阵可由如下所示的虚功方程求得。几必-£[况f人m-f「[加『二0(1-11)其中，八为作用在边界上的外力矩阵；厶和九为惯性力矩陈，其形式由式(1]2)和(i-B)fA~~P11
4、(1-12)fD=~cu(1-13)给出。在单元内任一点的位移w%可以用单元形函数N和单元节点位移u近似表示为ue=Nu(1-14)巾此，可相应的得到.eu=Nu(1-15)....u=Nu(1-16)8e-LNSli-B&i(1-17)a=DBu(1-18)fB=NTfd-19)其中，D力弹性矩阵，L为微分算子。将以上各个经过插值后的量(式(1-12)•式(1-19))，代入式(1-11)中，可得[di]BtDBud^NTcNud^^-^[SLiTNTpNudQ.-v[&{]NTfdT=0(1-20)由于虚位移如是任意
5、的，因此整理可得kp1DBdilu+^N1cNud£lu^^NrpNud£lu=vN1fdV(1-21)方程(1-21)也可写为有限元方程的标准形式：Ku+Cu+Mu-F(1-22)其中，K为刚度矩阵，C为一致性阻尼矩阵(对于无阻尼问题，该矩阵为零阵)，M为一致性质量矩阵，F为外力矩阵，分别可表示为K=BTDBdQ.(1-23)C=^NTcNdQ.(1-24)F=^NTfdY(1-26)这就表明，对于该封闭区域，通过单元网格划分可以确定其总体刚度矩阵和总体质量矩阵。因此，只要给定问题的边界条件和初始条件，就能对所列出的线
6、性方程组(1-22)进行求解，求解得到的结果即为该问题的解。由于材料的粘滞系数难以确定(一般只能用实验方法测定)，在工程计©中通常采用Rayleigh阻尼法确定阻尼矩阵，即假定阻尼矩阵为刚度矩阵和质量矩阵的线性组合C=aM+/3K(1-27)特别要注意的是，对于某些无阻尼问题，有限元方程的形式仅为Ku+Mu=F(1-28)1.3求解算法在建立了动力分析的有限元方程后，通过给定的边界条件就可以求解出体系的动力反应。在对有限元方程进行求解时，常使用直接积分方法进行计算。直接积分方法是指在积分运动方程之前不进行方程形式的变换，而直
7、接进行数值积分。这类方法的特点是求解域内仅在离散时间点(而非任意时刻)能够满足运动方程的要求。而在离散时间点间假定了节点加速度、节点速度和节点位移的函数形式，从而建立起在相邻离散时间点时各节点反应值间的相互关系，由此每一时刻的反应侪便可逐步计算出来。直接积分方法可分为两类，分别是隐式方法和显式方法。1有限元方程的隐式解法隐式方法的研宂历史较长，且大部分为无条件稳定，例如，线性加速度法、常平均加速度法、Newmark法、Wilson-沒法等。隐式方法需要对藕联的线性方程组进行直接求解，通过求得的反应值建立下一迭代步的线性方程组
8、(以下一时刻反应伉作为未知数)，进而求解并得到该方程组中未知的反应值，以此类推。隐式方法的计算精度较髙，算法稳定性好，但对于自由度数目较大或非线性程度较高的问题，隐式方法所需的计算量很大，计算成本较高。(1)线性加速度法线性加速度法假设在相邻的离散时间点P和P+1间，节点m的加速度分，•以
