概率论及数理统计ch2-2

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1、§2.3连续型随机变量的分布一.连续型随机变量的密度函数定义2.3.1若X是随机变量，其分布函数为，如果存在非负函数，使得对于任意的有（2.3.1）则称X是连续型随机变量，而称为X的概率密度函数（简称密度函数或密度）.1.密度函数具有下列性质：（1）（2.3.2）（2）（2.3.3）性质（2）表明，曲线与x轴围成的面积是1.反之，若任意一个定义在上的函数具有以上两个性质，则由（2.3.1）定义的函数是一个分布函数.2.对于任意实数有（2.3.4）（2.3.4）式说明了：X落在44中的概率，恰好等于在区间上由曲线形成的曲边梯形的面积.3.对于任意实数，有.这说明：（1）象离散型随机变量那样用

2、列举法来描述连续型随机变量不但做不到，而且也毫无意义.（2）由不能推出；由不能推出.即概率为0的随机事件不一定是不可能事件，概率为1的随机事件不一定是必然事件.（3）对连续型随机变量X，有（2.3.5）4.分布密度函数的数值反映了随机变量X取的临近值的概率的大小.这是因为5.由（2.3.1）式可以看出，在上连续，且44若在点连续，则（2.3.6）例2.3.1设随机变量X的密度函数为.求（1）常数A；（2）X的分布函数；（3）X落在区间中的概率.解（1）由密度函数的性质（2.3.3）44得.（2）当时，当时，当时，综上得（3）.二.常用的连续型分布1.均匀分布:若随机变量的密度函数为44（2

3、.3.7）则称X服从区间上的均匀分布，记为X～U.这时,的分布函数为（2.3.8）若随机变量X服从区间上的均匀分布，则X在区间中落在其中某子区间的概率仅与子区间的长度成正比，而与此点的位置无关.2.指数分布:或若随机变量X的密度函数为（2.3.9）其中是常数，则称随机变量Ｘ服从参数为的指数分布，记为～.这时,的分布函数为44（2.3.10）指数分布有着重要的应用：常用它来作为各种“寿命”分布的近似，例如动物的寿命，电子元件的使用寿命，电话的通话时间，排队等候服务的时间等都常常假定服从指数分布.例2.3.3某种晶体管寿命服从参数为的指数分布（单位：小时）.某电子仪器装配有此晶体管5个，并且每

4、个晶体管损坏与否相互独立.求此电子仪器在1000小时内恰好有两个晶体管损坏的概率.44解设为第只晶体管的寿命”，由题意知的密度函数为于是以Y记5只晶体管中寿命不小于1000小时的只数，则Y～，因此，所求概率为3.正态分布:若随机变量X的密度函数为（2.3.11）其中，是常数，则称X服从参数为的正态分布，记为X～.可以验证确实是一个密度函数.即（1）>0.（2）44这时，的分布函数为，2.3.12）密度函数是一条钟形曲线：中间高，两边低.特别地，当，时，此时分布称为标准正态分布，记为，相应的密度函数和分布函数分别记为和，即有=，（2.3.13），（2.3.14）对于的分布函数值可以通过变换得

5、到.44推导如下：∵X～，∴∴.例2.3.4设X～，则，由此，当或时，有,.例2.3.5设随机变量X～.（1）求；（2）求常数，使；44（3）求常数，使.解（1）==（2），查表得于是.（3），即，，查表得44于是.　例2.3.8设X～，则.特别地，当时，有这表明试验中位于44以内的数据占99.73%，因此可以说，在一次试验中，随机变量X几乎总是落在之中，此即“3”原则.这也与前面提到的密度函数的性质是一致的，在点附近越高，随机变量在点附近取值的概率也越大.§2.4随机变量函数的分布一般地，设X为一随机变量，为一已知的函数，其定义域包含了X的一切取值，则也是一随机变量.一.离散型随机变量函

6、数的分布若X为离散型随机变量，则44也是离散型随机变量.由X的分布列不难求出Y的分布列.设X的分布列为～则随机变量Y=的分布列为～当然这里可能有一些的值是相等的，只要把它们作适当的合并就可以了.或用公式来表示，若Y的可能取值为，则，（2.4.1）例2.4.1已知X的分布列为～，求的分布列.44解当X分别取-2，-1，0，1，2时，因此Y的取值9，4，1，0，1，故的分布列为～例2.4.2已知求:与的分布列44二、连续型随机变量函数的分布若X为连续型随机变量X，为连续函数，则Y=g(X)也是连续型随机变量.如何由X的密度函数求Y的密度函数呢？其一般方法是：先求Y的分布函数FY(y)，然后再通

7、过求导得出Y的密度函数pY(y).例2.4.3已知随机变量X～，求的密度函数.解当时，，∴=0；当时∴=因此Y的密度函数为（2.4.2）44具有密度函数（2.4.2）式的分布称为自由度为1的分布.对于为单调函数，的分布密度可以直接由下列定理给出.定理2.4.1设X是一个连续型随机变量，其密度函数为，在内大于零，又函数在上严格单调且其反函数具有连续导数，则也是一个连续型随机变量，且其密度函数为（2.4.5）其中是的值域.例