相似三角形定义及其判定定理

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1、数学驿站www.maths168.com相似三角形的定义及其判定定理本周重点和难点：相似三角形的判定定理一、知识点回顾1、相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。2、定理：平行于三角形的一边的直线和和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。3、相似三角形的传递性：如果△ABC∽△A1B1C1，△A1B1C1∽△A2B2C2，那么△ABC∽△A2B2C2。4、相似三角形的判定方法：（1）根据定义：对应角相等，对应边成比例的三角形相似。（2）根据平行线：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交

2、，所构成的三角形与原三角形相似。（3）判定定理1：两角对应相等的两个三角形相似。（4）判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。（5）判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似。（6）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。二、例题：例1、如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=EC，DB=1cm，AE=4cm，BC=5cm，求DE的长。解：∵DE∥BC∴（平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例。）∴AD×EC=DB×AE又∵AD=EC，AE=4cm，DB=1cm∴AD=EC==2cm又∵DE∥BC∴（平行于三角

3、形一边的直线和其他两边相交所构成的三角形与原三角形相似。）∴DE=例2、如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AE平分∠CAB，BD⊥AC于D，交AE于F，那么图中相似三角形共有多少对？解：∵BD⊥AC，∠ABC=90°∴△ADB∽△BDC∽△ABC。又∵AF平分∠BAC∴∠DAF=∠BAE∴Rt△ABE∽Rt△ADF∴图中共有4对相似三角形。数学驿站www.maths168.com例3、如图，正方形ABCD中，E是CD的中点，FC=BC，那么图中共有多少对相似三角形？解：设FC=1，则BC=4∵正方形ABCD∴AB=BC=CD=DA=4，∠C=∠

4、D=∠B=90°∵E是CD的中点∴CD=2在△ADE中，∠D=90°∴AE2=AD2+DE2即：AE=2同理：AF=5，EF=∴FC：EC：EF=DE：AD：AE=EF：AE：AF∴△FCE∽△EDA∽△FEA（三边对应成比例，两三角形相似）∴图中共有三对相似三角形。例4、如图，E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且，∠1=∠2，求证：∠ABC=∠AED。分析：看到题中的两个条件，很自然就会想到证△ABE∽△ACD。然而证出这两个相似三角形之后却还是无法证出要证的结论，因此应当另想它法。注意到不仅意味着△ABC与△AED两边对应成比例，同时也可看成△

5、ABC和△AED的两边对应成比例。证明：∵∠1=∠2∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC即：∠BAC=∠EAD∵∴△ABC∽△AED（两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似）∴∠ABC=∠AED三、训练题：1、△ABC中，D是AB上的一点，在AC上截一点E，使得以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，则这样的点的个数最多是（）A、0B、1C、2D、无数个2、在直角三角形中，两直角边分别为3，4，则这个三角形的斜边与斜边上的高的比是（）A、B、C、D、3、如右图：点P为△ABC的AB边上一点（AB>AC），下列条件中不一定能保证△ACP∽△ABC的是（）数

6、学驿站www.maths168.comA、∠ACP=∠BB、∠APC=∠ACBC、D、4、已知：△ABC∽△A’B’C’，且BC=3，B’C’=1.8，则△A’B’C’与△ABC的相似系数为_______________。5、DE是△ABC的中位线，则△ADE∽_________，相似比为___________。6、一个三角形的各边之比为2：5：6，和它相似的另一个三角形的最大边为15cm，则它的最小边为_____________。5、如图，BD、CE为△ABC的高，求证：△ADE∽△ABC。6、若CD是Rt△ABC斜边AB上的高，且AD=9，BD=1

7、6，求AC、BC、CD。7、如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4。求证：△ABD∽△ACE。四、解答：1、C2、A3、D4、5、△ABC，6、5cm5、证明：∵BD、CE是△ABC的高∴∠AEC=∠ADB=90°又∵∠A=∠A∴△AEC∽△ADB（两角对应相等，两三角形相似）数学驿站www.maths168.com∴∴△ADE∽△ABC（两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似）6、解：∵CD是Rt△ABC斜边AB上的高∴△ACD∽△ABC∽△CBD（直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似）∴，，∴AC2=AB×AD，BC2=AB×BD，C

8、D2=AD×BD又∵AD=9，BD=16，AB=AD+BD=25∴AC=15，BC=20，CD