双曲复数及方程

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1、双曲复数与Cauchy—Riemann方程摘要:利用Clifford代数的双曲虚单位引入双曲复数和双曲复平面的概念，并讨论了它们的性质，然后给出了Cauchy-Riemann方程的几种不同的表达形式.关键词:Clifford代数;双曲复数;双曲复平面;Cauchy—Riemann方程用Clifford代数表述非欧几何及近代物理的有关问题已经成为人们关注的课题.文献［2］以Clifford代数为工具，讨论Minkowski空间的几何性质及狭义相对论的时空结构.文献［3］介绍了双曲复数，双曲复变函数及双曲正则函数，并且给出了Cauchy-Riemann方程的代数表

2、达式，本文在此基础上给出了Cauchy-Riemann方程的极坐标表达式、向量形式和旋量形式的表达式，为讨论双曲正则函数奠定了基础.1双曲复数与双曲复平面1．1双曲复数的性质形如的数，称为双曲复数，其中(实数域)，为Clifford代数的双曲虚单位，有，将双曲复数的全体记为，是Clifford代数的偶子代数.事实上，Clifford代数是基为的4维实代数，基元素的乘法表为：1-11基元素生成的子空间由纯量、向量和、以及双向量组成，且.令(称为偶部)，，(称为奇部)，则.偶部不仅是子空间而且是子代数，它有形如的元素组成，这里且，所以的偶子代数同构于，记.定义的加

3、法和乘法运算为:---------------------------------的加法和乘作成二维实交换代数.定义的内积为：.特别地，，令，则有或.8若设，，则是的子空间，且有，.的所有零因子所成的集为，和互为共轭零因子集，即，作为的子代数均与实数域同构，有同构映射：.，有逆元.定理1关于的乘法作成Abel群.1．2双曲复平面的对称性与双曲复数对应的平面称为双曲复平面，又称平面.引入二元实函数，则平面成为一个Minkowski平面.定义它的间隔数为，间隔数为0的数称为迷向数，平面的迷向数所成的集合恰为二维实代数的所有零因子所成的集合，平面的迷向数将平面分为四

4、个部分，记为，中的非零元均为非迷向数，定义非迷向数的示向数为平面的间隔数与传统的模长()概念不同，它具有如下性质：为迷向数；；其中定义其幅角为，任意非迷向数的指数式及双曲函数表达式依次为直角坐标与极坐标的转化关系为8所有迷向数所成的集合为有，为平面上的两正交直线，由原点将其分为四个部分，记为：，，，.的示向数为定义其迷向间隔为，则，可以表示为.时，定义迷向距离定理2具有如下性质：(1)关于的加法作成有恒等元的半群，且相互同构.(2)是半环上的半线性空间，且相互同构.(3)在上定义二元运算则成为半环上半线性空间，且相互同构.其中.由双曲复平面的对称性可知，双曲复

5、平面的若干性质可以借助某个加以讨论.1．3双曲复数的矩阵表示在几何代数中向量旋转角可表示成，分量为写成矩阵形式为8复数的矩阵表达式为，，.这时，因此有，.2Cauchy-Riemann方程2．1代数形式的Cauchy-Riemann方程称为双曲复变函数，其中都是实变量的实值函数，分别叫作的实部与虚部.如果在某个内是连续可微的，则在该内连续可微的，且其中，，由于沿任意方向趋于零时极限都存在，所以当取时，当取时，比较上面两式有，(2.1)它是最简单的一阶双曲型方程组，它与椭圆型方程理论中的Cauchy-Riemann方程组相对应，称之为双曲型方程理论的Cauchy

6、-Riemann方程组，简称为C.-R.方程，把C.-R.方程的连续可微的解称为双曲正则函数.C.-R.方程(2.1)能被简写成.(2.2)定理3设在某个内有定义，则在点可微的充要条件是在点可微，且满足，这时.证明略.令，则，8故C.-R.方程(2.1)又能被简写成(2.3)定理4设函数在平面内可微，以下两个条件是等价的：(1).(2)2．2极坐标形式的C.-R.方程由平面的对称性只须在中讨论即可.为方便令，则，它的双曲函数表达式为，直角坐标与极坐标的转化关系为。函数又可以表示成.此时，，，，，由(2.1)知.(2.4)此为C.-R.方程在极坐标系下的表达形式

7、.定理5设，，若在点可微，且满足(2.4)，则在点是可微的且证明仅在内讨论，同理可以证明其它三种情况.，令，，它们有一阶连续偏导数，且8，由反函数存在定理知存在唯一的具有一阶连续的偏导数的反函数组，所以在点可微，且有，，，又因为在点可微，则复合函数在点可微，且同理有，故在点是可微的.2．3向量形式的C.-R.方程由(2.2)知，，左乘和右乘，利用的结合性和反交换性，有(2.5)此为向量到的C.—R.方程的表达式.注意这里.定义1若二元实函数在点存在对自变量的偏导数，则称向量为在点的梯度，记作grad.定义9若二元实函数在某个内有二阶连续偏导数且满足8Lapla

8、ce方程，则称该内的调和函数.定理6若