材料：复数运算及复数方程 - 新课程答疑材料——复数

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1、新课程教育在线www.newclasses.org复数运算及复数方程一、复数概念与运算1.（1）复数的单位为i，它的平方等于－1，即.（2）复数及其相关概念：①复数：形如a+bi的数（其中）；②实数：当b=0时的复数a+bi，即a；③虚数：当时的复数a+bi；④纯虚数：当a=0且时的复数a+bi，即bi.⑤复数集C：全体复数的集合，一般用字母C表示.2、复数是实数的充要条件：①z=a+bi∈Rb=0（a、b∈R）；②z∈Rz=；③Z∈R．3、复数是纯虚数的充要条件：①z=a+bi是纯虚数a=0且b≠0（a、b∈R）；②z

2、是纯虚数或0Z+=0；③z是纯虚数z2＜0．4、两个复数相等的定义：注意：两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.5、模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数.特例：零向量的方向是任意的，其模为零.注：.6、复数加、减、乘、除法的运算法则：设，则；；．7、共轭复数：两个复数实部相等，虚部互为相反数．即z=a+bi，则，（a、b∈R），实数的共轭复数是其本身．性质：、、，、、、（）、8、⑴复数的乘方：（2）对任何，及有．5公司地址:上海市广元西路45号交大慧谷301-2室热线电

3、话：400-820-5563电子邮箱：enroll@newclasses.org新课程教育在线www.newclasses.org注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如若由就会得到的错误结论.②复数集内解方程不能采用两边平方法.（3）常用的结论：，，若是1的立方虚数根，即，则．二、复数的几何性质1、加法的几何意义：设各与复数z1，z2对应，以为边的平行四边形的对角线就与z1+z2对应．2、减法的几何意义：设各与复数z1，z2对应，则向量所对应的复数就是z2-z1，｜z1-z2｜的几何意义是分别

4、与Z1，Z2对应的两点间的距离．3、复平面内的两点间距离公式：.其中是复平面内的两点所对应的复数，间的距离.4、曲线方程的复数形式：①为圆心，r为半径的圆的方程.②表示线段的垂直平分线的方程.③为焦点，长半轴长为a的椭圆的方程（若，此方程表示线段）.④表示以为焦点，实半轴长为a的双曲线方程（若，此方程表示两条射线）.5、绝对值不等式：设是不等于零的复数，则①.5公司地址:上海市广元西路45号交大慧谷301-2室热线电话：400-820-5563电子邮箱：enroll@newclasses.org新课程教育在线www.ne

5、wclasses.org左边取等号的条件是，右边取等号的条件是.②.左边取等号的条件是，右边取等号的条件是.三、复数方程在复数集内解关于的一元二次方程时，应注意下述问题：①当时，若＞0，则有二不等实数根；若=0，则有二相等实数根；若＜0，则有二相等复数根（为共轭复数）.②当不全为实数时，不能用方程根的情况.③不论为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.四、例题解析例1、已知下列命题：（1）在复平面中，x轴是实轴，y轴是虚轴；（2）任何两个复数不能比较大小；（3）任何数的偶次幂都是非负数；（4）若t＋si=3－4

6、i，则t=3、s=－4．其中真命题为．例2、（07上海高考）对于非零实数，以下四个命题都成立：①；②；③若，则；④若，则．那么，对于非零复数，仍然成立的命题的所有序号是．例3、使不等式成立的实数m＝．A．1B．0C．3D．复数无法比较大小例4、（10浦东二模）设为坐标原点，复数在复平面内对应的点分别为，则下列结论中不一定正确的是（）5公司地址:上海市广元西路45号交大慧谷301-2室热线电话：400-820-5563电子邮箱：enroll@newclasses.org新课程教育在线www.newclasses.orgA．

7、B．C．D．例5、设z∈C，

8、z

9、=1，则

10、z++i

11、的最大值为．例6、如果复数满足，那么的最小值（）A．1B．C．2D．例7、已知集合，，若，则满足的关系是________．例8、若2＋3i是方程x2+mx+n＝0的一个根，则实数m，n的值为__________．例9、若非零复数满足,则的值是（）A．1B．C．D．例10、设是纯虚数，求复数z对应的点的轨迹方程．例11、若复数z满足（t∈R），求z的对应点Z的轨迹方程．例12、（05上海高考）证明：在复数范围内，方程（为虚数单位）无解．5公司地址:上海市广元西路45号交

12、大慧谷301-2室热线电话：400-820-5563电子邮箱：enroll@newclasses.org新课程教育在线www.newclasses.org例13、已知，且．（1）求的最大值（2）复数z的实部与虚部的和的最大值例14、（10浦东二模）设复数与复平面上点对应.（1）若是关于的一元二次方程（）的一个虚根，且