1.3主应力与应力圆

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1、上次课内容平衡方程应用：对于给定的一组应力分布函数——满足平衡方程，则该分布函数对应的状态存在——不满足平衡方程，则该分布函数对应的状态不存在任意斜截面上的应力张量表示为：又由下面的关系式：公式表明：已知应力张量（6个独立应力分量），可以确定任意方位微分面的应力矢量。也可以确定正应力σn与切应力τn。可分别求得该任意斜截面上的全应力、正应力、剪应力。主应力？主平面？txysxsysataatn主应力特点：主应力是一点所有微分面上最大或最小的正应力，对于构件受力很重要。主应力和主平面概念§1.3应力分析过一点任意斜面上的正应力和

2、切应力，随着斜面方向角而变化。如果某一斜面上只有正应力，切应力为零，则该斜面称为（该点在该应力状态下的）主平面，该正应力称主应力。为找出我们要进行主应力分析。1主平面方位；2主应力大小；§1.3应力分析在主应力平面时，有：变换为：关于的齐次线性方程组，存在非零解的条件为方程组的系数行列式等于零，即由于方向余弦不能全为零，那么化简为：该方程为研究对象的应力状态方程，称为主应力特征方程，它有三个实根，记作s1，s2，s3，有，三个实根称作三个主应力，通常按数值大小排列成为s1≥s2≥s3。即：对于应力主方向，将s1，s2，s3分别

3、代入并联系l2+m2+n2=1,§1.3应力分析则可求应力主方向。主元之和代数主子式之和应力张量元素构成的行列式（主应力特征方程）对于：应力不变量——可确定弹性体内部任意一点主应力和应力主轴方向。主应力和应力主轴方向取决于载荷、形状和边界条件等，与坐标轴的选取无关。特征方程的根是确定的，即I1、I2、I3的值是不随坐标轴的改变而变化的。§1.3应力分析I1、I2、I3分别称为：应力张量的第一、第二和第三不变量。主应力和应力主方向取决于结构外力和约束条件，与坐标系无关。因此特征方程的三个根是确定的。特征方程的三个根，即一点的三个

4、主应力均为实数。任意一点三个应力如互不相等，主方向是相互垂直的，且总能找到一个以三个应力为轴的正交坐标系。应力不变量性质坐标系的改变导致应力张量各分量变化，但应力状态不变。应力不变量正是对应力状态性质的描述。不变性实数性正交性主应力正交性1.若s1≠s2≠s3，特征方程无重根；应力主轴相互垂直；2.若s1＝s2≠s3，特征方程有两重根；s1和s2的方向必然垂直于s3的方向。而s1和s2的方向可以是垂直的，也可以不垂直；3.若s1=s2=s3，特征方程有三重根；三个应力主轴可以垂直，也可以不垂直，任何方向都是应力主轴。但我们总能

5、找到一组相互垂直的主应力，建立主坐标系。极值剪应力及其方位123123123最大剪应力最大剪应力那么，最大剪应力面的正应力是否也为零呢？应力圆Mohr应力圆P1P2P3M讨论任意截面正应力和切应力的变化趋势——应力圆。作图法确定任意面上的正应力及切应力。由斜截面上的正应、切应力及方向余弦的关系，有：s2s1xyzs3作图法求斜截面应力的步骤（作图法求斜截面上的应力）单向应力状态（UnidirectionalStateofStress）：一个主应力不为零的应力状态。二向应力状态（PlaneStateofSt

6、ress）：一个主应力为零的应力状态。sxsxtzxsxsxtxzs1s2s3三向应力状态（Three—DimensionalStateofStress）：三个主应力都不为零的应力状态。平面应力状态平面应变状态所有的和z轴相关的应变分量全部为零所有的和z轴相关的应力分量全部为零在弹性力学中平均应力只引起体积改变，而不引起形状改变：应力张量的分解应力球张量改变单元体体积，不影响变形（剪力为零）。应力偏张量仅改变单元体形状。应力张量按形变效应分解应力球张量：（静水应力状态）任意截面上的应力均等于0。与坐标轴选择无关。与材料体积

7、变形有关。应力球张量和应力偏张量应力偏张量：与材料形状变形有关。应力偏张量为对称张量。与应力张量不变量相对，应力偏张量也有三个不变量。课后作业2.主应力分别为60MPa、-40MPa、-10MPa时，1）建立主坐标系；2）求在主坐标系中方位角为（60°60°45°）平面上的正应力与切应力。某点应力张量分量为：1）用张量表示该点应力状态；2）求主应力及主平面；3）求主切应力的大小。例：已知某点的应力状态为：求：作用于过该点，方程为的平面外侧的正应力和剪应力。解：例1：已知某点的应力状态为：求方向余弦相等的各面上的主应力、全应力和

8、切应力。例2：已知某点应力状态为：求：主应力和最大剪应力。平面应力状态sxtxysyxyzxysxtxysyO应力状态分析：xxyyzzyzx斜截面上的应力主应力最大剪应力平面应力状态：