高等数学练习题(附答案).doc

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1、《高等数学》专业年级学号姓名一、判断题.将√或×填入相应的括号内.（每题2分，共20分）（）1.收敛的数列必有界.（）2.无穷大量与有界量之积是无穷大量.（）3.闭区间上的间断函数必无界.（）4.单调函数的导函数也是单调函数.（）5.若在点可导，则也在点可导.（）6.若连续函数在点不可导，则曲线在点没有切线.（）7.若在[]上可积，则在[]上连续.（）8.若在（）处的两个一阶偏导数存在，则函数在（）处可微.（）9.微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解.（）10.设偶函数在区间内具有二阶导数，且,则为的一个极

2、小值.二、填空题.（每题2分，共20分）1.设，则.2.若，则.3.设单调可微函数的反函数为,则.4.设,则.5.曲线在点切线的斜率为.276.设为可导函数,,则.7.若则.8.在[0,4]上的最大值为.9.广义积分.10.设D为圆形区域.三、计算题（每题5分，共40分）1.计算.2.求在（0，+）内的导数.3.求不定积分.4.计算定积分.5.求函数的极值.6.设平面区域D是由围成，计算.7.计算由曲线围成的平面图形在第一象限的面积.8.求微分方程的通解.四、证明题（每题10分，共20分）1.证明：.2.设在闭区间

3、[上连续，且27证明：方程在区间内有且仅有一个实根.《高等数学》参考答案一、判断题.将√或×填入相应的括号内（每题2分，共20分）1.√；2.×；3.×；4.×；5.×；6.×；7.×；8.×；9.√；10.√.二、填空题.（每题2分，共20分）1.；2.1；3.1/2；4.；5.2/3；6.1；7.；8.8；9.1/2；10.0.三、计算题（每题5分，共40分）1.解：因为且，=0由迫敛性定理知：=02.解：先求对数3.解：原式===2274.解：原式=====4/55.解：故或当时，，且A=（0，0）为极大值点

4、且当时，，无法判断6.解：D===27===7.解：令，；则，8.解：令，知由微分公式知：四.证明题（每题10分，共20分）1.解：设=0令即：原式成立。2.解：上连续27且<0,>0故方程在上至少有一个实根.又即在区间上单调递增在区间上有且仅有一个实根.《高等数学》专业学号姓名一、判断题（对的打√，错的打×；每题分，共分）1.在点处有定义是在点处连续的必要条件.2.若在点不可导，则曲线在处一定没有切线.3.若在上可积，在上不可积，则在上必不可积.4.方程和在空间直角坐标系中分别表示三个坐标轴和一个点.5.设是一阶

5、线性非齐次微分方程的一个特解，是其所对应的齐次方程的通解，则为一阶线性微分方程的通解.二、填空题（每题分，共分）1.设则.2.设，当时，在点连续.3.设，则.274.已知在处可导，且，则　　.5.若，并且，则　　　　　　　.6.若在点左连续，且，则与大小比较为　　　　7.若，则　　　　；　　　　　　.8.设，则　　　　　　.9.设，则　　　　　　　　　.10.累次积分化为极坐标下的累次积分为　　　.三、计算题（前题每题分，后两题每题分，共分）1.;2.设　，求;3.;4.;5.设,求　.6.求由方程所确定的函数的微

6、分.7.设平面区域是由围成，计算.8.求方程在初始条件下的特解.四、（分）已知在处有极值，试确定系数、，并求出所有的极大值与极小值.五、应用题（每题分，共分）1.一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比.已知当速度为27时，燃料费为每小时元，而其它与速度无关的费用为每小时元.问轮船的速度为多少时,每航行所消耗的费用最小？2.过点向曲线作切线，求：（1）切线与曲线所围成图形的面积；（2）图形绕轴旋转所得旋转体的体积.六、证明题（分）设函数在上的二阶导数存在，且,.证明在上单调增加.高等数学参考答案一、判断题1.

7、√；2.×；3.√；4.×；5.√.二、填空题1.36；2.；3.；4.；5.；6.；7.；8.；9.；10..三、计算题1.原式272.3．原式=4．设则原式=5．276．两边同时微分得：即故（本题求出导数后，用解出结果也可）7．8．原方程可化为通解为代入通解得故所求特解为：四、解：因为在处有极值，所以必为驻点27故又解得：于是由得，从而，在处有极小值，在处有极大值五、1.解：设船速为，依题意每航行的耗费为又时，故得，所以有，令，得驻点由极值第一充分条件检验得是极小值点.由于在上该函数处处可导，且只有唯一的极值点

8、，当它为极小值点时必为最小值点，所以求得船速为时，每航行的耗费最少，其值为（元）2.解：（1）设切线与抛物线交点为，则切线的斜率为，又因为上的切线斜率满足，在上即有所以，即又因为满足，解方程组得27所以切线方程为则所围成图形的面积为：（2）图形绕轴旋转所得旋转体的体积为：六、证：在上，对应用拉格朗日中值定理，则存在一点，使得代入上式得由假设知为增函数，又，则