上海交通大学致远学院2014年春季学期

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1、上海交通大学致远学院　2014年春季学期《抽象代数》课程教学说明一.课程基本信息1．开课学院（系）：致远学院2．课程名称：《抽象代数》(AbstractAlgebra)3．学时/学分：64学时/4学分4．先修课程：数学分析、空间解析几何、高等代数、初等数论5．上课时间：周3周5第1、2节6．上课地点：中院2057．任课教师：章璞pzhang@sjtu.edu.cn8．办公室及电话：数学楼12039．助教：邢长贾xing_changjia@sina.cn10.Officehour：周4周5下午2:00-4:00数学楼1203二.课程主要内容和教学进度安排

2、课程性质：抽象代数是高等学校数学类各专业的必修课。它是研究群、环、域这三种基本的代数结构的一门课程。主要内容包括群的基本结构理论、群在集合上的作用及其应用、环的基本结构和因子分解理论、中国剩余定理、域的扩张理论、有限域及其应用、Galois理论及其应用。教学目标：要使学生掌握抽象代数基本的理论与方法，注意结合具体的例子来理解抽象代数中的数学概念、思想和思维方法，使学生的抽象思维能力得到系统的训练和提高，为进一步学习数学和其它学科奠定坚实的代数基础。第1章群论（30学时）1.0课程简介（0.5学时）课程名称；历史演变与研究对象：数数－算术－代数－结构－作

3、用基本的代数结构：群、环、域特点与重要性：从三方面讲：理论、应用、思维的训练要求与学习提示：概念清楚、意义明确、理解准确、逻辑严密强调例子对于理解和发展的重要性掌握standardarguments思考、比较、联系；多想、多练.1.1对称性与群概念的引入（0.5学时）美（beauty）的基本要素：对称性怎样数学地描述现实世界中对称性？：图形M的对称性理解为集合M的保距（一一）变换；从而这种变换的集合连同变换的合成（即M的对称群）体现了图形M有“多少”对称性；用圆的对称群和正多边形的对称群作比较;引出群的观念.1.2群的定义与例子（2学时）什么是群（强调

4、4条）；简单性质（单位元与逆元的唯一性；左、右消去律；穿脱原理）；举例：数群、GL(n,C),O(n,R),U(n,C),SL(n,Z)（对求逆封闭）,集合的变换群（乘法是什么），剩余类加群（第1次遇到“定义合理性”问题）；稍进一步的性质（单边定义；除法定义；有限半群成群的充要条件）；有限群的群表;群同态、群同构及其意义；举例（如：行列式映射，指数函数）；自同构群；举例：有理数加群的自同构群.1.3子群与Lagrange定理（2学时）子群的定义；单位元与逆元的一致性；子群的判定；子群的例子:SL(n,C)

5、SU(n,C)

6、的中心；p平方阶群是Abel群.正规化子、共轭子群的个数。1.6正规子群、商群、群同态基本定理（3学时）正规子群的定义与例子；商群的构造；为什么要商群？同态基本定理：表述、意义、证明和应用（子群对应定理和两个同构定理）；应用举例：内自同构群同构于G/Z(G).1.7置换群（3学时）变换群的重要性；Cayley定理；S_n中元素的表达、奇偶性、阶；对称群与交错群的生成系置换的型；共轭类的划分；有限单群；A_n（n>4）的单性；举例：S_n的正规子群；S_4/K_4同构于S_3.1.8群在集合上的作用（2学时）群作用的思想；两种定义的等价性；作用的核；三种

7、典型的作用及其核：（左）正则作用；（左）诱导作用；共轭作用；轨道公式；举例；正多面体的旋转群和对称群；提及：Klein关于几何学的Erlangen纲领：（欧氏、仿射、射影等）几何学与（相应地，正交变换、仿射变换、射影变换等）群作用下的不变性.1.9Burnside引理在计数中的应用（2学时）Burnside引理；项链问题1.10Sylow定理（3学时）有限群SylowI,II,III的表述与部分证明（作为群作用的应用）;举例：利用Sylow定理判断有限群的非单性；确定阶数最小的单的非Abel群，即A_5其他例子.1.11群的直积（2学时）外直积与内直积

8、的统一；直积的等价刻画;当(n,m)=1时，Z_nXZ_m=Z_{nm};举例.1.12群的生