上海交通大学致远学院

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1、上海交通大学致远学院《常微分方程和偏微分方程的数值解法》教学大纲一、课程基本信息课程名称（中文）：常微分方程和偏微分方程的数值解法课程名称（英文）：NumericalMethodsforOrdinaryandPartialDifferentialEquations课程代码：MA300学分/学时：4学分/68学时适用专业：致远学院与数学系相关专业先修课程：偏微分方程，数值分析后续课程：相关课程开课单位：理学院数学系计算与运筹教研室Officehours:每周二19：00—21：00，地点：数学楼1204二、课程性质和任务本课程是致远学院和数学系应用数学和计算数

2、学方向的一门重要专业基础课程，其主要任务是通过数学建模、算法设计、理论分析和上机实算“四位一体”的教学方法，使学生掌握常微分方程与偏微分方程数值解的基本方法、基本原理和基本理论，进一步提升同学们利用计算机解决实际问题的能力。在常微分方程部分，将着重介绍常微分方程初值问题的单步法，含各类Euler方法和Runge-Kutta方法，以及线性多步法。将简介常微分方程组和高阶常微分方程的数值方法。在偏微分方程部分，将系统介绍求解椭圆、双曲、抛物型方程的差分方法的构造方法和理论分析技巧，对于椭圆型方程的边值问题将介绍相应变分原理与有限元方法。将在课堂上实时演示讲授的核

3、心算法的计算效果，以强调其直观效果与应用性。本课程重视实践环节建设，学生要做一定数量的大作业。三、教学内容和基本要求第一部分：常微分方程数值解法1引论1.1回顾：一阶常微分方程初值问题及解的存在唯一性定理41.2Euler方法：显/隐Euler方法，改进的Euler方法1.3单步法和多步方法的定义、局部截断误差、整体截断误差，零-稳定性1.4Euler方法稳定与收敛性分析2单步法和Runge-Kutta方法的构造与分析2.1Taylor展开法2.2单步法的稳性与收敛性分析2.3显式Runge-Kutta方法与绝对稳定性2.4隐式Runge-Kutta方法3线

4、性多步法的构造与分析3.1待定系数法3.2数值积分法（Adams方法）3.3多步方法的实际使用技巧3.4线性多步法的稳性与收敛性分析4常微分方程组和高阶常微分方程的数值方法简介4.1刚性常微分方程组4.2高阶方程化为一阶方程组第二部分：偏微分方程数值解法1椭圆型方程的差分方法1.1从一个简单例子谈起1.2矩形域上Poisson方程的五点差分格式与快速求解1.3离散极值原理和最大模估计与误差分析1.4求解矩形域上Poisson方程的九点差分格式2发展方程有限差分方法的基本概念和理论42.1区域的离散和微分方程的离散2.2差分格式的相容性、收敛性及稳定性2.3F

5、ourier稳定性判别准则2.4Von-Neumann稳定性判别准则及性质2.5多层差分格式稳定性判别方法2.6构造差分方法和分析稳定性的其它方法3双曲型方程的差分方法3.1一阶双曲型方程的差分方法3.2CFL条件3.3利用特征线构造差分方法3.4差分格式的余项效应分析3.5变系数方程的差分方法与能量积分稳性分析3.6一维守恒型方程守恒律与计算（*）3.7二阶双曲型方程的差分方法4抛物型方程差分方法4.1常系数抛物型方程初值问题的差分方法4.2初边值问题的处理4.3对流扩散方程的差分方法4.4Richardson外推法4.5变系数方程的差分方法4.6高维抛物

6、型方程初值问题的基本差分方法4.7分数步方法5变分原理5.1变分问题与典型示例5.2变分问题的Euler-Langrange方程及守恒律45.3二次函数极值问题5.4一维变分问题5.5高维变分问题5.6变分问题的近似计算6有限元方法6.1一维椭圆问题的线性有限元方法6.2一维线性有限元方法的理论分析6.3二维椭圆问题的线性有限元方法6.4形成有限元线性代数方程组的子结构方法四、考核及成绩评定方式最终成绩由平时作业、课堂表现、大作业、期中期末成绩综合而得。各部分所占比例如下：l平时作业和上课参与程度：20分。l大作业：10分。l期中考试：30分。l期末考试：4

7、0分。为了强化学风与纪律，在试听期间后上课过程中任课老师将随机点名，如无故缺席者每缺一次扣1分，直至扣满10分，扣分归类在平时作业和上课参与程度栏目。如果某一同学缺课率超过学校的规定，将取消其该们课程成绩。五、教材及参考书目课程教材：【1】李立康、於崇华、朱政华，微分方程数值解法，复旦大学出版社，上海，1999。【2】偏微分方程数值解法(第二版)，陆金甫、关治，清华大学出版社，北京，2004。参考书目：【1】李荣华，冯果忱，微分方程数值解(第三版)，高等教育出版社，北京，1996。【2】李治平，偏微分方程数值解讲义，北京大学出版社，北京，2010。【3】有限

8、元方法讲义，应隆安，北京大学出版社，1988。【4】