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1、1.补成三角形例1.如图1，已知E为梯形ABCD的腰CD的中点；证明：△ABE的面积等于梯形ABCD面积的一半。初中几何证明题辅助线训练营分析：过一顶点和一腰中点作直线，交底的延长线于一点，构造等面积的三角形。这也是梯形中常用的辅助线添法之一。分析：因为角是轴对称图形，角平分线是对称轴，故根据对称性作出辅助线，不难发现CF＝2CE，再证BD＝CF即可。2.补成等腰三角形例2如图2.已知∠A＝90°，AB＝AC，∠1＝∠2，CE⊥BD，求证：BD＝2CE3.补成直角三角形例3.如图3，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＋∠C＝90°，F、G分别是AD、BC的中
2、点，若BC＝18，AD＝8，求FG的长。分析：从∠B、∠C互余，考虑将它们变为直角三角形的角，故延长BA、CD，要求FG，需求PF、PG。图34.补成等边三角形例4.图4，△ABC是等边三角形，延长BC至D，延长BA至E，使AE＝BD，连结CE、ED。证明：EC＝ED分析：要证明EC＝ED，通常要证∠ECD＝∠EDC，但难以实现。这样可采用补形法即延长BD到F，使BF＝BE，连结EF。5.补成平行四边形例5.如图5，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，并且E、F、G、H不在同一条直上，求证：EF和GH互相平分。分析：因为平行四
3、边形的对角线互相平分，故要证结论，需考虑四边形GEHF是平行四边形。6.补成矩形例6.如图6，四边形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°，AB＝200m，CD＝100m，求AD、BC的长。分析：矩形具有许多特殊的性质，巧妙地构造矩形，可使问题转化为解直角三角形，于是一些四边形中较难的计算题不难获解。图67.补成菱形例7.如图7，凸五边形ABCDE中，∠A=∠B＝120°，EA＝AB＝BC＝2，CD＝DE＝4，求其面积分析：延长EA，CB交于P，根据题意易证四边形PCDE为菱形。图78.补成正方形例8.如图8，在△ABC中，AD⊥BC于D，∠BAC＝4
4、5°，BD＝3，DC＝2。求△ABC的面积。图8分析：本题要想从已知条件直接求出此三角形的面积确实有些困难，如果从题设∠BAC＝45°，AD⊥BC出发，可以捕捉到利用轴对称性质构造一个正方形的信息，那么问题立即可以获解。9.补成梯形例9．如图9，已知：G是△ABC中BC边上的中线的中点，L是△ABC外的一条直线，自A、B、C、G向L作垂线，垂足分别为A1、B1、C1、G1。求证：GG1＝1/4(2AA1＋BB1＋CC1)。图9分析：本题从已知条件可知，中点多、垂线多特点，联想到构造直角梯形来加以解决比较恰当，故过D作DD1⊥L于D1，则DD1既是梯形BB1C
5、1C的中位线，又是梯形DD1A1A的一条底边，因而，可想到运用梯形中位线定理突破，使要证的结论明显地显示出来，从而使问题快速获证。1、在△ABC中，AC=BC，D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于E，又AE=BD，求证：BE平分∠ABC。课后作业：2、如图，已知：在△ABC内，∠BAC=60°，∠ACB=40°，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的角平分线，求证：BQ+AQ=AB+BP3、已知：∠BAC=90°，AB=AC，AD=DC，AE⊥BD，求证：∠ADB=∠CDE4、设正三角形ABC的边长为2，M是AB边上的中点，P
6、是BC边上的任意一点，PA+PM的最大值和最小值分别记为S和，求：S－t的值。5.△ABC中，分别以AB,AC,BC为边在同侧作等边三角形ABD,BCF,ACE探究下列问题（1）当△ABC满足______条件时，四边形DAEF是矩形.（2）当△ABC满足______条件时，四边形DAEF是菱形.（3）当△ABC满足______条件时，以D、A、E、F为顶点的四边形不存在.如图:三角形ABD,三角形ACE,三角形BCF都是等边三角形，首先我们来证明DAEF为平行四边形角DBF=60度-角FBA=角ABC而DB=AB,BF=BC三角形DBF全等于三角形ABC所以
7、:DF=AC=AE同理可证:DA=FE所以:DAEF为平行四边形(1)如图,如果角DAE=90度,则DAEF为矩形则必须:角BAC=360度-2*60度-90度=150度(而如果,另一种情况,BC为短边,F将落在DAECB的包围之中,角DAE=2*60度+角BAC>90度,DAEF不可能为矩形,而BC为短边,角BAC<90度)(2)如果:DA=AE,则:DAEF为菱形，则必须:AB=AC(3)如果:角BAC=60度则:角DAE=3*60度=180度D,A,E共线,所以:以D、A、E、F为顶点的四边形不存在据此,(2)的结论应稍加改变为:当AB=AC,且角BA
8、C不等于60度时,四边形DAEF是菱形6.已知:如图
