高中数学直线和圆知识点总结

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1、直线和圆一．直线1．斜率与倾斜角：，（1）时，；（2）时，不存在；（3）时，（4）当倾斜角从增加到时，斜率从增加到；当倾斜角从增加到时，斜率从增加到2．直线方程（1）点斜式：（2）斜截式：（3）两点式：（4）截距式：（5）一般式：3．距离公式（1）点，之间的距离：（2）点到直线的距离：（3）平行线间的距离：与的距离：4．位置关系（1）截距式：形式重合：　　　　相交：平行：垂直：（2）一般式：形式重合：且且平行：且且1垂直：相交：5．直线系表示过两直线和交点的所有直线方程（不含）二．圆1．圆的方程（1）标准形式：（）（2）一般式：（）（3）参数方程：（是参数）【注】题目中出现动点求量

2、时，通常可采取参数方程转化为三角函数问题去解决.（4）以,为直径的圆的方程是：2．位置关系（1）点和圆的位置关系：当时，点在圆内部当时，点在圆上当时，点在圆外（2）直线和圆的位置关系：判断圆心到直线的距离与半径的大小关系当时，直线和圆相交（有两个交点）；当时，直线和圆相切（有且仅有一个交点）；当时，直线和圆相离（无交点）；判断直线与圆的位置关系常见的方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系．(2)代数法：联立直线与圆的方程消元后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内可判断直线与圆相交．13．圆和圆的位置关系判断圆心距与两圆半径之和，半径

3、之差（）的大小关系当时，两圆相离，有4条公切线；当时，两圆外切，有3条公切线；当时，两圆相交，有2条公切线；当时，两圆内切，有1条公切线；当时，两圆内含，没有公切线；4．当两圆相交时，两圆相交直线方程等于两圆方程相减5．弦长公式：例1若圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点，则实数k的取值范围是________．解析：由题意知＞1，解得－＜k＜.答案：(－，)例2已知两圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0，C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，则两圆公共弦所在的直线方程是____________．解析：两圆相减即得x－2y＋4＝0.答案：x－2y＋4＝0例3设直线x－m

4、y－1＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A、B两点，且弦AB的长为2，则实数m的值是________．解析：由题意得，圆心(1,2)到直线x－my－1＝0的距离d＝＝1，即＝1，解得m＝±.答案：±例4若a，b，c是直角三角形ABC三边的长(c为斜边)，则圆C：x2＋y2＝4被直线l：ax＋by＋c＝0所截得的弦长为________．解析：由题意可知圆C：x2＋y2＝4被直线l：ax＋by＋c＝0所截得的弦长为2，由于a2＋b2＝c2，所以所求弦长为2.答案：21例5已知⊙M：x2＋(y－2)2＝1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点．(1)若

5、AB

6、＝，

7、求

8、MQ

9、及直线MQ的方程；(2)求证：直线AB恒过定点．解：(1)设直线MQ交AB于点P，则

10、AP

11、＝，又

12、AM

13、＝1，AP⊥MQ，AM⊥AQ，得

14、MP

15、＝＝，又∵

16、MQ

17、＝，∴

18、MQ

19、＝3.设Q(x,0)，而点M(0,2)，由＝3，得x＝±，则Q点的坐标为(，0)或(－，0)．从而直线MQ的方程为2x＋y－2＝0或2x－y＋2＝0.(2)证明：设点Q(q,0)，由几何性质，可知A，B两点在以QM为直径的圆上，此圆的方程为x(x－q)＋y(y－2)＝0，而线段AB是此圆与已知圆的公共弦，相减可得AB的方程为qx－2y＋3＝0，所以直线AB恒过定点.例6过点(－1，－2)的直线l被

20、圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为，则直线l的斜率为________．解析：将圆的方程化成标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，其圆心为(1,1)，半径r＝1.由弦长为得弦心距为.设直线方程为y＋2＝k(x＋1)，即kx－y＋k－2＝0，则＝，化简得7k2－24k＋17＝0，得k＝1或k＝.答案：1或例7圆x2－2x＋y2－3＝0的圆心到直线x＋y－3＝0的距离为________．解析：圆心(1,0)，d＝＝1.答案：1例8圆心在原点且与直线x＋y－2＝0相切的圆的方程为____________________．解析：设圆的方程为x2＋y2＝a2(a＞0)∴＝a，∴a

21、＝，∴x2＋y2＝2.答案：x2＋y2＝2例9已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为________________．圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋F＝0，则解得圆C的方程为x2＋y2－4x－6＝0.[答案]　(1)C　(2)x2＋y2－4x－6＝0例10(1)与曲线C：x2＋y2＋2x＋2y＝0相内切，同时又与直线l：y＝2－x1相切的半径最小的圆的半径是________．(2)已知实数x，y满足(x－2)2＋(y＋1)2＝1则2x