下学期 4．6 两角和与差的正弦、余弦、正切2

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1、下学期4．6两角和与差的正弦、余弦、正切2下学期4．6两角和与差的正弦、余弦、正切24．6两角和与差的正弦、余弦、正切（第二课时）（一）教学具准备　　投影仪（二）教学目标　　1．掌握利用得到的两角和与差的正弦公式．　　2．运用公式进行三角式的求值、化简及证明．（三）教学过程1．已知两角，我们可以利用的三角函数去计算复合角的余弦，那么，我们能否用的三角函数去表达复合角的正弦呢？本节课将研究这一问题．2．探索研究（1）请一位同学在黑板上写出，的展开式．　　　　．　　由于公式中的是任意实数，故我们对实施特值代换后并不影响等号成立，为此我们曾令，得到，　　两个熟悉的诱导公式，请同学们尝试一下，能

2、否在中对选取特殊实数代换，使诱变成呢？或者说能否把改成用余弦函数来表示呢？请同学回答．　　生：可以，因为　　该同学的思路非常科学，这样就把新问题问题化归为老问题：．　　事实上：（视“”为）　　　　　　这样，我们便得到公式．　　简化为．　　由于公式中的仍然是一切实数，请同学们再想一下，如何获得的展开式呢？请同学回答．　　生：只要在公式中用代替，就可得到：　　　　即　　师：由此得到两个公式：　　对于公式还可以这样来推导：　　　　　　说明：　　（1）上述四个公式，虽然形式、结构不同，但它们本质是相同的，因为它们同出一脉：　　　　这样我们只要牢固掌握“中心”公式的由来及表达方式，就掌握了其他三个

3、公式了．这要作为一种数学思想、一个数学方法来仔细加以体会．　　（2）、是用的单角函数表达复合角的正、余弦．反之，我们不得不注意，作为公式的逆用，我们也可以用复合角的三角函数来表达单角三角函数．诸如：，，及四种表达式，实质上是方程思想的体现：　　由得：　　　　　①　　由得　　　　　　②　　由，得：　　　　　　③　　由得：　　　　　　④　　等式①、②、③、④在求值、证明恒等式中无疑作用是十分重大的．（2）例题分析【例1】不查表，求，的值．　　解：　　　　　　　　　　说明：我们也可以用系统来做：　　【例2】已知，，，，求，．　　分析：观察公式和本题的条件，必须先算出，　　解：由，得　　　　又由

4、，得　　　　∴　　【例3】不查表求值：（1）；（2）．解：（1）　　　　　　（2）　　　　　　　　练习（投影）　　（1），，则．　　（2）在△中，若，则△是___________．参考答案：（1）∴　　　　∴（2）由，　　∴　　∴，为钝角，即△是钝角三角形．【例4】求证：．　　分析：我们从角入手来分析，易见左边有复角（即两角和与差）右边全是单角，所以思路明确，就是要把复角变单角．　　证明：　　左边　　　　　　右∴原式成立　　如果我们本着逆用公式来看待本题，那么还可这样想：　　由　　　　令，则　　①　　至于我们可这样分析：　　∵　　令得　　　　　　同理　　∴①可进一步改写为：　　　　　　∴

5、……②　　又∵　　　　　　　　……③由②、③得　　　　本题还可以从函数名称来分析，左边是正、余弦函数，右边是正切函数，故可考虑从右边入手用化弦法，请同学们自己把上面过程反过来，从右边推出左边．【例5】求证：　　师：本题我们可以从角的形式来分析，左边是单角，右边是复角，如果从右边证左边则要把复角变单角（即利用和角公式）；如果从左边证右边则须配一个角，所以本题起码有两种证法．　　证法1：右边　　　　左边　　∴原式成立　　师：另一种证法根据刚才的分析要配出角，怎样配？大家仔细观察证法一就不难发现了．　　证法2：（学生板书）　　左边　　　　　　　　右边∴原式成立3．演练反馈（投影）（1）化简（2

6、）已知，则的值（）　　A．不确定，可在［0、1］内取值　　B．不确定，可在［－1、1］中取值　　C．确定，等于1　　　　　　　　　D．确定，等于1或－1参考答案：（1）原式　　　　（2）C4．总结提炼　　（1）利用“拆角”“凑角”变换是进行三角函数式求值、证明、化简的常用技巧，如：，，．在三角形中，，等变换技巧，同学们应十分熟悉．　　（2）本节课的例5，代表着一类重要题型，同学们要学习它的凑角方法，一般地，其中．　　（3）在恒等式中，实施特值代换，是一类重要的数学方法——母函数法，这种方法在数学的其他学科中，均有用武之地。它反映的是特殊与一般的辨证统一关系．（四）板书设计　　课题：两角和

7、与差的正弦1．公式推导　　①　　　　＝……　　得到公式………　　把公式中换成得公式………2．公式的结构特点　　用单角函数表示复角函数　　右边中两个积的函数名称不同　　……运算符号同左边括号　　中的运算符号一致（区别于、）3．折、凑角技巧例1例2例3例4例5　　演练反馈　　总结提炼....，。