双曲型偏微分方程数值解及反问题的研究

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1、第一章绪论1绪论1.1双曲型偏微分方程数值解及反问题的研究背景及意义自然界任何物质的运动都受到一定自然规律的制约，微分方程是描述这些制约关系的常用工具之一。以物理理论和实际模型为基础的偏微分方程，它是借助于数学分析的理论来研究自然现象的一门学科，最早兴起于两百多年前，起初的研究直接来源于物理与几何的问题，后来发展到一个独立的数学分支，内容繁多，方法形式多样，偏微分方程讨论的问题不仅涉及如物理、力学、生物、几何和化学等学科的古典问题，且应用了现代数学的许多工具去解决这些问题，近几年来，在该领域方面的研究，尤其是在非线性方程方面的研究，发展

2、迅猛。在物理学、力学和工程技术问题的研究中，有许多问题借用偏微分方程来描述，因此它被分为椭圆形、抛物型、双曲型和混合型四类偏微分方程。而把描述振动或波动现象的一类重要的偏微分方程称为双曲形方程；同时，它在航空、海洋、气象和石油勘探等方面的流体力学问题中发挥了重要的应用，尤其是近年来不同学科的相互渗透与交缘，使得双曲型偏微分方程研究理论和算法得到很好的[1-3]发展。由于双曲型偏微分方程的反问题解法在许多工程领域，特别是在石油地震勘探中有着重要的应用价值，近年来有关双曲型偏微分方程的研究不断深入，也正是它具有紧密地、直接地联系着许多自然现

3、象的特点，所以随着科学技术的发展；一方面，它从其它科学技术中吸取新方法，不断地更新和丰富它的研究内容，另一方面，也促进了许多相关数学分支的发展，为解决许多实际问题提供了有力工具,其主要的成果为人们解决实际中的一些难题起到了关键的作用。1.2双曲型偏微分方程数值解及反问题的实际应用背景偏微分方程正问题（即：定解问题），是研究由偏微分方程描述某种物理过程或现象，并依据系统状态变量的某些特定条件（如初始边界条件等）来确定整个系统状态变量的变化规律，即是用来研究状态的数学表达式。如果偏微分方程定解问题中的某些原来条件变成未知的，而原方程的未知函

4、数仍未知，或与这个未知函数的一些有关信息知道，就要通过偏微分方程，定解条件和某些附加条件来确定这些未知量，这类问题称为偏微分方程的逆问题。为了能够使得正问题与反问题的概念具体化、明了化，我们将通过以下几个典型的实例来描述性地说明一般正反问题的基本概念,常见的正反问题类型如1西安理工大学硕士学位论文下：例1：波动方程2uuu2(p(x,y))(p(x,y))f(x,y,t),(x,y),t0txxyyu(x,y,0)(x,y),在内u(x,y,0)k(x,y),在内(1.1)t

5、u(x,y,t)(x,y,t),在上1u(x,y,t)p(x,y)u(x,y,t)H(x,y,t),在上2n其中uxyt(,,)为波场函数，fxyt,,为震源函数，为大于等于零的常数；正问题：当方程中的系数pxy(,)，震源函数fxyt(,,)，初始条件(,)xy、kxy(,)，边界条件(,,)xyt、Hxyt(,,)及常数为已知，求解uxyt(,,)；反问题：当fxyt(,,)，(,)xy，kxy(,)，(,,)xyt，和Hxyt(,,)已知，再添加附加条件uhxyt(,,)，这里hxy

6、t(,,)是已知函数；这样：(1.1)式和附加条件构2成了反演系数pxy(,)的数学模型。例2：电报方程在物理电流中，由于在直流电或低频的交流电中，电路的基尔霍夫定律指出：在其中的同一支路中电流相等；但对较高频率的电流，电路中导线的自感和电容的效应是相当大的，因此在同一支路中电流是不相等的。被当作具有分布参数导体的高频传输线，用（1.2）式来描述到体内电流流过的情况，式（1.2）称为传[4-5]输线方程或者被称为电报方程。如以一维电报方程为例：22uuuufxt(,)(1.2)22ttx其中uxt(,)为场变量

7、，fxt(,)为场源，和是常数。ux(,0)gxx(),1正问题：初始条件为：，边界条件为：uxt(,)hxt(,)，这ux(,0)gxx(),t2里x,0tT，求uxt(,)就看作是电报方程正问题。2第一章绪论反问题：已知初始条件和边界条件，且补充附加条件u(0,)t()t，求解系数和，则构成电报方程的反问题。例3：地球物理勘探问题[6-7]地球物理勘探是通过观测和分析大地对人激发地震波的感应，利用地下介质弹性和密度的不同，推断地下岩层的性质和形态的方法。地球物理勘探也是用于钻探前，勘测石油与

8、天然气资源的一个重要手段；同时在煤田、工程地质勘查、区域地质研究和地壳研究等方面得以广泛的应用。地震勘探的深度一般可从数十米达到几百几千米。如假设地层是横向均匀的，而且震源力仅仅沿着纵向分布，那么地震波的传