高考导数压轴题分类总结.pdf

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1、导数常考题型总结导数常考题型总结一、导数单调性、极值、最值的直接应用21.（切线）设函数f(x)xa.（1）当a1时，求函数g(x)xf(x)在区间[0,1]上的最小值；（2）当a0时，曲线yf(x)在点P(x1,f(x1))(x1a)处的切线为l，l与x轴交于点A(x2,0)求证：xxa.12323解：(1)a1时，g(x)xx，由g(x)3x10，解得x.3g(x)的变化情况如下表：333x0(0,)(,1)1333g(x)-0+g(x)0↘极小值↗03323所以当x时，

2、g(x)有最小值g().3392(2)证明：曲线yf(x)在点P(x1,2x1a)处的切线斜率kf(x1)2x12曲线yf(x)在点P处的切线方程为y(2x1a)2x1(xx1).222x1ax1aax1令y0，得x2，∴x2x1x12x12x12x12ax1∵x1a，∴0，即x2x1.2x12x1ax1ax1ax1a又∵，∴x22a22x12x122x122x1所以xxa.122.（2009天津理20，极值比较讨论）22x已知函数fx()(x

3、ax2a3)(aexR),其中aR⑴当a0时，求曲线yfx()在点(1,(1))f处的切线的斜率；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m2⑵当a时，求函数fx()的单调区间与极值.3解：本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。第1页共77页导数常考题型总结2x2x⑴当a0时，f(x)xe，f'(x)(x2x)e，故f'(1)3e.所以曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为3e.22x⑵f'(x)x

4、(a2)x2a4ae.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m2令f'(x)0，解得x2a，或xa2.由a知，2aa2.3以下分两种情况讨论：2①若a＞，则2a＜a2.当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表：3x，2a2a2a，a2a2a2，+0—0+↗极大值↘极小值↗所以f(x)在(，2a)，(a2，)内是增函数，在(2a，a2)内是减函数.2a函数f(x)在x2a处取得极大值f(2a)，且f(2a)3ae.w.w.w

5、.k.s.5.u.c.o.ma2函数f(x)在xa2处取得极小值f(a2)，且f(a2)(43a)e.2②若a＜，则2a＞a2，当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表：3x，a2a2a2，2a2a2a，+0—0+↗极大值↘极小值↗所以f(x)在(，a2)，(2a，)内是增函数，在(a2，2a)内是减函数。a2函数f(x)在xa2处取得极大值f(a2)，且f(a2)(43a)e.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m2a函数f(

6、x)在x2a处取得极小值f(2a)，且f(2a)3ae.3.（最值，按区间端点讨论）a已知函数f(x)=lnx－.x(1)当a>0时，判断f(x)在定义域上的单调性；3(2)若f(x)在[1,e]上的最小值为，求a的值.21axa解：(1)由题得f(x)的定义域为(0,＋∞)，且f′(x)＝＋＝.22xxx∵a>0，∴f′(x)>0，故f(x)在(0,＋∞)上是单调递增函数.xa(2)由(1)可知：f′(x)＝，2x①若a≥－1，则x＋a≥0，即f′(x)≥0在[1,e]上恒成立，此时f(x)在[1,e

7、]上为增函数，33∴f(x)min＝f(1)＝－a＝，∴a＝－(舍去).22②若a≤－e，则x＋a≤0，即f′(x)≤0在[1,e]上恒成立，此时f(x)在[1,e]上为减函数，a3e∴f(x)min＝f(e)＝1－＝，∴a＝－(舍去).e22第2页共77页导数常考题型总结③若－e0，∴f(x)在(－a,e)上为增函数，3∴f(x)min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝⇒a＝－

8、e.2综上可知：a＝－e.124.（最值直接应用）已知函数f(x)xaxln(1x)，其中aR.2（Ⅰ）若x2是f(x)的极值点，求a的值；（Ⅱ）求f(x)的单调区间；（Ⅲ）若f(x)在[0,)上的最大值是0，求a的取值范围.x(1aax)解：（Ⅰ）fx(),x(1,).x111依题意，令f(2)0，解得a