旋转与非旋转网球落点确定

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1、摘要网球比赛中的“鹰眼”实际上是获取网球飞行时的三维坐标，速度大小，方向，计算出其飞行轨迹从而确定其落点。本文根据“鹰眼”原理，设定上述数据，建立网球在有旋转，无旋转，考虑空气阻力的情况下的飞行路线模型，判断网球落点，利用MATLAB软件作出直观的飞行轨迹图。对问题一，我们根据所给数据，假定在无风且空气密度均匀，网球因击打所产生的变形不计，精确作出网球飞行中所受到的重力，空气阻力，将网球的运动分解成为竖直方向和水平方向，利用微积分的思想进行求解，从而得出网球的射程落地时间及落点位置。主要结果由于未知量较多，公式较复杂，这里

2、不做摘要，具体见下文。对问题二，初始条件，三维坐标，速度方向，大小都已给出具体数字，实际上就是问题一建立的数学模型的应用，可定量表达出网球飞行轨迹，我们用坐标变换将飞行轨迹先表达成二维图形，再在其基础上求解出三维图形，最后利用MATLAB软件制作网球飞行轨迹，计算落点。主要结果，其飞行轨迹为：这便是网球上升至最高点之前的运动轨迹，之后的运动轨迹方程为：网球落点为（1.5249，12.1991，0）对问题三，这道题在第二个问题的基础上增加了网球的旋转，根据伯努利守恒公式，压强差产生垂直于速度方向与角速度方向的马格努斯力。由于

3、空气阻力在竖直方向的分力很小，我们可以忽略不计，这里，由于网球旋转方向未知，所以我们大胆假设其旋转轴平行于z轴，然后应用积分原理求解出马格努斯力的系数，通过在竖直方向上网球上升高度所需时间的计算，证明假设正确。之后建立数学模型详细描述网球旋转情况下的飞行轨迹及落点。主要结果，其轨迹为：落点为（1.9474，8.6042,0）1.问题重述网球运动风靡全球，是一项传统的高雅运动，集竞技性、观尝性于一体。在竞技的过程中，除主裁外，需要多名司线员对接近边球进行落点裁决。既便如此，由于网球在空中运行速度很快，在落地后，经常会有选手对

4、其落在线内还是线外产生争议。“鹰眼”被称为即时回放系统，利用高速摄像头从不同角度同时捕捉网球飞行轨迹的基本数据；再将这些数据生成三维图像；最后利用即时成像技术，清晰地呈现出网球的运动路线及落点。“鹰眼”技术是对裁判判罚精确性的得力辅助工具，通过它可以有效地杜绝一些争议的产生。“鹰眼”显示的落点是一个阴影，它不是拍出来的，而是由飞行数据精确计算出来。任务一我们假定通过“鹰眼”系统已经能获得网球飞行中某点处的三维坐标、速度、速度方向，请建立模型，计算出网球的落点图象。任务二以底线中点为坐标原点，x轴平行于底线方向，y轴平行于边

5、线方向，z轴竖直向上，建立三维坐标系，单位长度为米。若网球在点（0,0,1）处获得（2,16,1）方向的15.75米/秒的速度，试判断网球的落点。任务三由于运动中的网球常带有旋转，由伯努利原理，运行轨迹呈一定方向的偏转。若任务二中球还经过点（0.2215，1.5517，1.0485），试判断网球的落点。2.问题分析网球属球类运动的一种，具有球类运动的通性。如果不考虑空气阻力，则在无旋转情况条件下，只受重力影响，其轨迹为标准的抛物线。但网球浸润在空气中，空气是具有粘滞性的，因此对运动物体有阻力作用，球类运动中，空气阻力对于球

6、的水平位移有很大影响，计算网球的射程及落点必须考虑空气阻力的作用。根据流体力学的原理，空气阻力按作用机理可分为摩擦阻力和压差阻力。对于网球，其表面非光滑，所以存在摩擦阻力。又因为其运动速度快，雷诺数较大，则必然存在压差阻力[1]，这两项阻力合成为始终反向于网球运动速度的空气阻力。11空气阻力与速度息息相关，所以它的大小和方向是刻变化的。这就造成了计算中的不便。因此，必须对网球的运动进行分解，利用微积分的思想对其在某时刻的速度大小，方向，水平位移，竖直位移进行求解，从而得出轨迹的数学表达式。对于第三题，网球加入了旋转，网球表

7、面是非光滑的，在旋转时，球表面带动周围气体运动，这样前两问中网球在前进时引起的气体分离大大减少，造成压差阻力减小。同时球周围空气速度产生变化，根据伯努利守恒公式，压强差产生垂直于速度方向与角速度方向的马格努斯力。由于系数中的ω未知，所以要通过代入轨迹通过的坐标点（0.2215,1.5517,1.0485）计算出其大小，才能确立轨迹方程，其轨迹方程相当于一段竖直方向上的抛物线以一定弧度展开。通过建立微积分求解的数学模型，并利用MATLAB软件，分别作出其竖直方向上的抛物轨迹和水平方向上的偏移轨迹，就可以计算出在有旋转情况下网

8、球的落点。3.模型假设1.假设空气静止且密度均匀，其密度2.假设网球为刚性球，即在运动中，始终没有变形。3.假设网球落地点无面积。4.假设重力加速度恒定，为5.假设网球运动时无球网的影响。4.符号约定（）：给定一点的坐标（）：给定一点的速度方向m：网球质量（200g）k：数值上等于，为简化了的空气阻力的