微分方程模型—传染病

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1、引言5.1传染病模型5.4药物在体内的分布与排除（房室模型）5.6人口预测和控制微分方程模型May.05,2003adiseasethathasrockedAsianmarkets,ruinedthetouristtradeofanentireregion,nearlybankruptedairlinesandspreadpanicthroughsomeoftheworld'slargestcountries.问题描述传染病的传播过程分析受感染人数的变化规律预报传染病高潮到来的时刻预防控制传染病蔓延5.1传染病模型三类人已感染者(Infective,病人)未感染者(Susce

2、ptible，易感染者)移出者(Removed，治愈免疫，隔离，死亡等)已感染人数(病人)i(t)每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为Malthus模型假设若有效接触的是病人，则不能使病人数增加必须区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模?短期预测模型Logistic模型（SI模型）区分已感染者(infective)和未感染者(易感染者susceptible)假设1）总人数N不变，病人和健康人的比例分别为2）每个病人每天有效接触人数为,且使接触的健康人致病建模~日接触率AIDS等1/2tmii010ttm~传染病高潮到来时刻(日接触率)tmLogist

3、ic模型所有人被感染??t=tm,di/dt最大感染无治愈模型Logistic模型SIS模型传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染增加假设伤风、痢疾等3）病人每天治愈的比例为~日治愈率建模~日接触率1/~感染期~一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。有治愈无免疫模型SusceptibleInfectiveSusceptibleSIS的解析解试试看：解析解怎样求？dsolve('Dy=lemda*y*(1-y)-mu*y','y(0)=i0','t')SIS模型i0i0接触数=1~阈值感染期内有效接触感染的人数不超过病人数1-1/i0

4、思考：Logistic模型(SI模型)如何看作SIS模型的特例？idi/dt01>10ti>11-1/i0t1di/dt<0SIR模型传染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系统，称移出者肝炎、SARS等假设1）总人数N不变，病人、健康人和移出者的比例分别为2）病人的日接触率,日治愈率,接触数=/建模需建立的两个方程有治愈有免疫模型SusceptibleInfectiveRemovedSIR模型无法求出的解析解！！！在相平面上研究解的性质思考：r(t)的方程？R0=λS/=S表示平均每个病人总传播人数。R0<1,传染病不蔓延SIR模型消去dt相轨线的

5、定义域相轨线(有解析解)11si0D在D内作相轨线的图形，进行分析si101DSIR模型相轨线及其分析传染病蔓延传染病不蔓延s(t)单调减相轨线的方向P1s0imP1:s0>1/i(t)先升后降至0P2:s0<1/i(t)单调降至01/~阈值P3P4P2S0SIR模型预防传染病蔓延的手段(日接触率)卫生水平(日治愈率)医疗水平传染病不蔓延的条件——s0<1/的估计降低s0提高r0>1-1/提高阈值1/降低(=/),群体免疫疫情实证分析(Kermack,P143图)1904—1905年，孟买及西北部各省和旁遮普邦发生瘟疫，平均每

6、周死亡1.8万人。r-孟买死亡人数。SARS疫情的实证分析与Kermack同样的方法王铎,赵宵飞.SARS疫情的实证分析和预测[J].北京大学学报(医学版),2003,5(S):72-74.一句话小结不同的领域可以共享相同或类似的数学模型，但所关注的问题会有所不同；不能求得解析解的方程仍可用相轨线办法分析解的性质。进一步的问题考虑出生和死亡因素的传染病模型考虑潜伏期的传染病模型SEIR考虑被动免疫的传染病模型MSIR考虑随机接触率的传染病模型SSIR参考http://en.wikipedia.org/wiki/Epidemic_model补充习题理论证明P143第1~3行。在

7、SIR模型中考虑出生与死亡的因素。假设全体人群以相同出生率生育婴儿，且婴儿为易感人群。死亡率与出生率相等，从而人群总数不变。试建立数学模型描述疾病的流行特征，并分析传染病不蔓延的条件。房室系统的概念二房室模型的建立模型求解不同给药方式分析参数估计技巧进一步推广5.4药物在体内的分布与排除（药物动力学之房室模型）药物进入机体形成血药浓度(单位体积血液的药物量)血药浓度需保持在一定范围内——给药方案设计药物在体内吸收、分布和排除过程——药物动力学建立房室模型(CompartmentalModels)房室—