专训4 用三角函数解与圆有关问题

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1、专训4 用三角函数解与圆有关问题名师点金:用三角函数解与圆有关的问题,是近几年中考热门命题内容,题型多样化;一般以中档题、压轴题形式出现,应高度重视.一、选择题1.如图,已知△ABC的外接圆⊙O的半径为3,AC=4,则sinB=(  )A.B.C.D.(第1题)   (第2题)2.如图,已知⊙O的两条弦AC,BD相交于点E,∠A=70°,∠C=50°,那么cos∠AEB的值为(  )A.B.C.D.3.【中考·乐山】在△ABC中,AB=AC=5,sinB=.⊙O过B,C两点,且⊙O的半径r=,则OA的长为(  )A.3或5B.5C.4或5D.44.【中考·孝感】如图,在半径为6cm的⊙

2、O中,点A是劣弧BC的中点,点D是优弧BC上一点,且∠D=30°.下列四个结论:(第4题)①OA⊥BC;②BC=6cm;③sin∠AOB=;④四边形ABOC是菱形.其中正确结论的序号是(  )A.①③ B.①②③④ C.②③④ D.①③④二、填空题5.【中考·黔东南州】如图,AB是⊙O的直径,AB=15,AC=9,则tan∠ADC=________.(第5题)   (第6题)6.【中考·玉林】如图,直线MN与⊙O相切于点M,ME=EF且EF∥MN,则cosE=________.7.【中考·泰安】如图,在半径为5的⊙O中,弦AB=6,点C是优弧AB上的一点(不与A,B重合),则cosC的

3、值为________.(第7题)   (第8题)8.【中考·荆州】如图,在直角坐标系中,四边形OABC是直角梯形,BC∥OA,⊙P分别与OA,OC,BC相切于点E,D,B,与AB交于点F,已知A(2,0),B(1,2),则tan∠FDE=________.三、解答题9.【中考·福州】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=,tanB=,半径为2的⊙C分别交AC,BC于点D,E,得到.(1)求证:AB为⊙C的切线;(2)求图中阴影部分的面积.(第9题)[来源:学*科*网]10.【中考·武汉】如图,AB是⊙O的直径,∠ABT=45°,AT=AB.(1)求证:AT是⊙O的切线;(2)连接

4、OT交⊙O于点C,连接AC,求tan∠TAC的值.(第10题)11.【中考·乌鲁木齐】如图,AB是⊙O的直径,CD与⊙O相切于点C,与AB的延长线交于点D,DE⊥AD且与AC的延长线交于点E.(1)求证:DC=DE;(2)若tan∠CAB=,AB=3,求BD的长.(第11题)[来源:Zxxk.Com][来源:学科网]12.【中考·烟台】如图,以△ABC的一边AB为直径的半圆与其他两边AC,BC的交点分别为D,E,且=.(1)试判断△ABC的形状,并说明理由;(2)已知半圆的半径为5,BC=12,求sin∠ABD的值.(第12题)13.【中考·莆田】如图,在四边形ABCD中,AB=AD,

5、对角线AC,BD交于点E,点O在线段AE上,⊙O过B,D两点,若OC=5,OB=3,且cos∠BOE=.求证:CB是⊙O的切线.(第13题)答案一、1.D 2.C 3.A 4.B二、5. 6. 7. 8.[来源:学§科§网Z§X§X§K]三、(第9题)9.(1)证明:如图,过点C作CF⊥AB于点F,在Rt△ABC中,tanB==,∴BC=2AC=2.∴AB===5,∴CF===2.∴AB为⊙C的切线.(2)解:S阴影=S△ABC-S扇形CDE=AC·BC-=××2-=5-π.10.(1)证明:∵AB=AT,∴∠ABT=∠ATB=45°,∴∠BAT=90°,即AT为⊙O的切线.(2)解:

6、如图,过点C作CD⊥AB于D,则∠TAC=∠ACD,tan∠TOA===2,设OD=x,则CD=2x,OC=x=OA.∵AD=AO-OD=(-1)x,∴tan∠TAC=tan∠ACD===.(第10题)   (第11题)11.(1)证明:连接OC,如图,∵CD是⊙O的切线,∴∠OCD=90°,∴∠ACO+∠DCE=90°.[来源:Zxxk.Com]又∵ED⊥AD,∴∠EDA=90°,∴∠EAD+∠E=90°.∵OC=OA,∴∠ACO=∠EAD,故∠DCE=∠E,∴DC=DE.(2)解:设BD=x,则AD=AB+BD=3+x,OD=OB+BD=1.5+x.在Rt△EAD中,∵tan∠CA

7、B=,∴ED=AD=(3+x).由(1)知,DC=DE=(3+x).在Rt△OCD中,OC2+CD2=DO2,则1.52+=(1.5+x)2,解得x1=-3(舍去),x2=1,故BD=1.12.解:(1)△ABC为等腰三角形,理由如下:连接AE,如图,∵=,∴∠DAE=∠BAE,即∠CAE=∠BAE.∵AB为直径,∴∠AEB=90°,∴AE⊥BC,∴∠AEB=∠AEC=90°.又∵AE=AE,∴△AEB≌△AEC.∴AB=AC.∴△ABC为等腰

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