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1、lagrange乘数法在初等数学中不等式的证明对于不能用高数的省分，仅限选择填空。?平凡的高数——拉格朗日乘数法?从一简单例题开始说起，其原理暂不追究，此题用一般方法解答更加简便，但用来引出乘数法(简单题型，用一般法更简单)长4m的绳子围成长为x，宽为y的矩形，矩形最大面积为多少？1.x,y永远满足x+y=2，令g(x,y)=x+y-2，即g(x,y)=0恒成立2.所求最大式子：f(x,y)=xy3.构建拉格朗日函数F(x,y)=f(x,y)+ng(x,y)4.求偏导数(Fx(x,y)代表函数F(x,y)偏x导，具体导法视x为变量，y为常数即可)一元函数中，一
2、般的极值点f'(x)=0，在这里，同样满足，即：Fx(x,y)=0，Fy(x,y)=0再联立g(x)解出最大的x,y(因为此题有最大直，无最小值，解出的答案才可取，否则需要讨论，讨论的方法是求出最值，然后x顺便带值进去,比较和最值得大小。即：解：g(x,y)=x+y-2f(x,y)=xyF(x,y)xy+n(x+y-2)Fx(x,y)=y+n=0Fy(x,y)=x+n=0解得x=y=1，由于只存在最大值，所以最大面积xy=1对应的，可以构建F(x,y,z)=f(x,y,z)+ng(x,y,z)等等多元函数来自高中数学吧吧友的题：a,b,c为正数，a+b+c=1
3、，求证(a/1+a＾2)+(b/1+b＾2)+(c/1+c＾2)小于等于9/10：思路：g(a,b,c)=a+b+c-1，f(a,b,c)=(a/1+a＾2)+(b/1+b＾2)+(c/1+c＾2)F(a,b,c)=f(a,b,c)+ng(a,b,c)分别偏a导，偏b导，偏c导得出a=b=c=1/3时f(a,b,c)取最大值9/10竞赛题：a+3b+c=9，求a+b＾2+c＾3的最大值，a>0，b>0，c>0思路：可构建拉格朗日函数:F(a,b,c)=a+b＾2+c＾3+na+3nb+nc-9n偏a导数等于0得：1+n=0偏b：2b+3n=0偏c：3c＾2+n
4、=0c可取2个值，不能取负，取正为最大，解得最大时b=1.5，c=√3/3算出a带入得答案为(243-14√3)/36a+b+c=1，求证（a^a）*（b^b）*（c^c）≥1/3两边同时取对数，等效为求证：alna+blnb+clnc≥ln(1/3)，然后求alna+blnb+clnc的最小值，偏a,b,c得出a=b=c=1/3，即最小为ln(1/3)，故不等式成立在解题时，用不等式感觉力不从心，lagrange乘数法也不失为一个好方法~一个规范的解题步骤：已知a,b,m,n均为正数，且a+b=1,mn=2,则(am+bn)(bm+an)的最小值为解：n=2
5、/m，打开括号，a+b=1限制：构建lagrange函数：F(a,b,m)=abm＾2+4ab/m＾2+2b＾2+2a＾2+n(a+b-1)Fa(a,b,c)=bm＾2+4b/m＾2+4a+n=0Fb(a,b,m)=am＾2+4b/m＾2+4b+n=0Fm(a,b,m)=2abm-8ab/m＾3=0解得:a=b=1/2，m=√2（然后………）类似的，无约束条件也可以用这种方法，即g(x)=0，suchas：prove：a＾4+b＾4+c＾4+d＾4≥4abcdf(a,b,c,d)=a＾4+b＾4+c＾4+d＾4-4abcd分别偏a,b,c,d导且等于0，得出f
6、(a,b,c,d)最小值为0，不等式得证！(基本不等式更快，只是说明无约束条件下也可以用而已，但此时的多元函数并不是lagrange函数了)
