同角三角函数的基本关系及诱导公式

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1、第二讲同角三角函数的基本关系及诱导公式重点难点重点：①掌握同角三角函数的关系公式．②掌握－α，π±α，2π－α，±α的诱导公式．难点：①诱导公式的规律性．②公式的综合运用．知识归纳1．同角三角函数的基本关系(1)倒数关系：tanα·cotα＝；(2)商数关系：＝；＝；(3)平方关系：sin2α＋cos2α＝；1tanαcotα12．三角函数的诱导公式(1)诱导公式的内容－απ－απ＋α2π－α2kπ＋α(k∈Z)－αsin－sinαsinα－sinα－sinαsinαcosαcoscosα－cosα－cosαcosαcosαsinα(2

2、)诱导公式的规律诱导公式概括为：±α(k∈Z)的正弦、余弦值，当k为偶数时，得角α的同名三角函数值；当k为奇数时，得角α相应的余函数值，然后放上把角α看成锐角时原函数所在象限的符号；可概括为“奇变偶不变，符号看象限．”误区警示1．已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余3种三角函数值时，如果应用平方关系，就要进行分类讨论，先确定角的终边所在的象限，再确定三角函数值的符号．要注意公式的合理选择和方法的灵活性．2．在利用同角三角函数的基本关系化简、求值时，要注意用“是否是同角”来区分和选用公式．3．在应用诱导公式进行三角式的化简、求值时，应

3、注意公式中符号的选取．应用公式时把角α看成锐角，如果出现kπ±α的形式时，常对k值是奇数还是偶数进行分类讨论，以确定角所在的象限．4．要熟记特殊角的三角函数值．解题技巧1．怎样计算任意角的三角函数值计算任意角的三角函数值，主要是运用诱导公式化任意角三角函数为锐角三角函数，其一般步骤是：(1)负化正：当已知角为负角时，先利用－α的诱导公式把这个角的三角函数值化为正角的三角函数值；(2)正化主：当已知角是大于360°的角时，可用k·360°＋α的诱导公式把这个角的三角函数值化为主区间(0°，360°)上的角的三角函数值；(3)主化锐：当已知

4、角是90°到360°间的角时，可利用180°±α，360°－α的诱导公式把这个角的三角函数值化为0°到90°间的角的三角函数值(对于非特殊角用查表或用计算器求出结果)．2．证明三角恒等式的常用方法证明三角恒等式的主要方法有：(1)化繁为简，即从等式较繁的一边出发，利用三角公式及变形技巧，逐步变形到等式的另一边．(2)左右归一，当欲证式两边都比较复杂时，把两边分别变形化简，得到同一个式子．(3)转换命题，即把原命题转化为它的等价命题，简化证明过程．3．“1”的代换在求值、化简、证明时，常把数1表示为三角函数式或特殊角的三角函数值参与运算，

5、使问题得以简化．常见的代换如下：1＝sin2α＋cos2α1＝sec2α－tan2α＝csc2α－cot2α1＝cosα·secα＝sinα·cscα1＝tan45°＝tanα·cotα＝cot45°1＝(sinα＋cosα)2－2sinαcosα等等．4．三角函数求值中直角三角形的运用先根据所给三角函数值，把角看成锐角构造相应的直角三角形．，求出该锐角的各三角函数值，再添上符号即可．点评：记住常用的勾股数组非常方便．常用的有：①3,4,5②5,12,13③7,24,25④8,15,17以及它们的倍数，如3k,4k,5kk∈N＋.(08

6、·浙江理)若cosα＋2sinα＝－，则tanα＝()A.B．2C．－D．－2解析：将已知等式两边平方得cos2α＋4sin2α＋4sinαcosα＝5(cos2α＋sin2α)，化简得sin2α－4sinαcosα＋4cos2α＝0，即(sinα－2cosα)2＝0，故tanα＝2.答案：B[例2]当且仅当θ在什么范围内取值时，等式＝cotθ－cscθ成立？化简：分析：“脱”去根号是我们的目标，这就希望根号下能成为完全平方式，注意到同角三角函数的平方关系式，利用分式的性质可以达到目标．点评：注意变形的技巧，对于.我们可以分子、分母同乘

7、以1＋sinα，也可以分子、分母同乘以1－sinα，但分母变为“单项式”更方便些，故选择同乘以1＋sinα.[例3]已知α是第三象限的角，且(3)∵－1860°＝－5×360°－60°∴f(－1860°)＝－cos(－1860°)＝－cos(－5×360°－60°)＝－cos(－60°)＝－cos60°＝－.设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋α)，其中a，b，α∈R，且ab≠0，α≠kπ(k∈Z)．若f(2009)＝5，则f(2010)等于()A．4B．3C．－5D．5解析：∵f(2009)＝asin(2009π＋α)＋

8、bcos(2009π＋α)＝－asinα－bcosα＝5，∴asinα＋bcosα＝－5.∴f(2010)＝asinα＋bcosα＝－5.答案：C只需证：2(1＋sinα)(1＋cosα)＝(1＋sinα＋