复变函数z1n的多值性问题及其教学意义

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1、复变函数zl/n的多值性问题及其教学意义赵书霞高磊田宇王彦洁大连理工大学物理与光电工程学院大连科技学院实验中心摘要：本文针对数学物理方法课程中复变函数z1/n的多值性问题，采用两种方法证明了Zl/n只有n个不同的独立值，弥补了大多教材只给结论，忽略推倒的不足，帮助学生理清复变函数多值性与复数指数表示式中三角函数部分周期性的关系，为学生以后学习留数定理和孤立奇点等相关知识点扫清障碍，最后在笛卡尔坐标系里用矢量阁像进一步展示了zl/n的多值性.关键词：数学物理方法;复变函数;复数指数表达式;三角函数周期性;作者简介：赵书霞（1980-）,女（汉族），河北邯郸人，副教授，博士，研究方向:等离子体物

2、理。收稿日期：2017-08-30MultipleValueProblemofComplexFunctionzl/nandItsTeachingSignificanceZHAOShu-KiaGAOLeiTIANYuWANGYan-JieSchoolofPhysicsandOpto-ElectronicEngineering,DalianUniversityofTechnology:ExperimentCenter，DalianInstituteofScienceandTechnology;Abstract：Thispaperisaimedatanalyzingthemultiplevalue

3、propertyofcomplexfunctionz1/ninthecurriculumofmathematicalphysicsmethods.Twomethodsaredevisedtoprovethattotallynindependentrootsexistforthefunction7?n,inordertomakeupthedeficiencythatmostreferencebooksjustgivethisconclusion,butneglecttherelevantprovingprocess.Thisworkcanhelpstudentstoclarifytherela

4、tionshipbetweenthemultiplevaluepropertyofcomplexfunctionsandtheperiodicityoftrigonometricfunctionpartintheexponentialexpressionofcomplexnumber.Meanwhi1e,italsopavesthewayforthestudentsto1earnnewknowledgepoints,suchasresiduetheorem,isolatedsingularpoints,andmathematicaltransformationetc.,inthefuture

5、.Last,westilldemonstratethismulti-valuetraitofzl"functionintheCartesiancoordinatesystembyusingvectorspresentationofcomplex.Keyword：MathematicalPhysicsmethods;ComplexFunction;MultiplevalueExponentialexpressionofComplex;Trigonometricfunctionperiodicity;Received：2017-08-30一、引言设复数z（z不为0）的表达式为z=x+iy=re，

6、其屮G为z的福角，r为z的模,则其中n为整数.当

7、k

8、>n时，辐角的取值只是在

9、k

10、〈n的基础上加减2JI的整数倍，不会再产生新的值，故关于多值性的讨论，只需令

11、k

12、

13、，有当k=±(n-1)时，有可以看出:k=l与k=-(n-1)时的福角相等，k=-l和k=(n-1)时的辐角相等，即总体上k=±l和k=土(n-1)时的辐角相等.同理，当匕±2时，有当k=±(n-2)时，有总体看来，k=±2与k=±(n-2)时的辐角相等.以此类推，可以证明1<=±3与k=±(n-3)时的辐角对等，k=±4与k=±(n-4)时的辐角对等，……2.讨论奇偶性。由上面证明看出除去k=0外，其他n-